미적분 예제

$y = \frac{6}{5} - \frac{6}{5} e^{- 20 t}$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{6}{5} - \frac{6}{5} e^{- 20 t}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [\frac{6}{5}] + \frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [\frac{6}{5}] + \frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$

단계 1.2

$\frac{6}{5}$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $\frac{6}{5}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{6}{5}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$

단계 2

$\frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$- \frac{6}{5}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- \frac{6}{5} e^{- 20 t}$ 의 미분은 $- \frac{6}{5} \frac{d}{d t} [e^{- 20 t}]$ 입니다.

$0 - \frac{6}{5} \frac{d}{d t} [e^{- 20 t}]$

단계 2.2

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = - 20 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 20 t$ 로 바꿉니다.

$0 - \frac{6}{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 20 t])$

단계 2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - \frac{6}{5} (e^{u} \frac{d}{d t} [- 20 t])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $- 20 t$ 로 바꿉니다.

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} \frac{d}{d t} [- 20 t])$

단계 2.3

$- 20$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 20 t$ 의 미분은 $- 20 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} (- 20 \frac{d}{d t} [t]))$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} (- 20 \cdot 1))$

단계 2.5

$- 20$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} \cdot - 20)$

단계 2.6

$e^{- 20 t}$ 의 왼쪽으로 $- 20$ 이동하기

$0 - \frac{6}{5} (- 20 \cdot e^{- 20 t})$

단계 2.7

$- 20$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 + 20 (\frac{6}{5}) e^{- 20 t}$

단계 2.8

$20$ 와 $\frac{6}{5}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{20 \cdot 6}{5} e^{- 20 t}$

단계 2.9

$20$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{120}{5} e^{- 20 t}$

단계 2.10

$\frac{120}{5}$ 와 $e^{- 20 t}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{120 e^{- 20 t}}{5}$

단계 2.11

$120$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.11.1

$120 e^{- 20 t}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$0 + \frac{5 (24 e^{- 20 t})}{5}$

단계 2.11.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.11.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$0 + \frac{5 (24 e^{- 20 t})}{5 (1)}$

단계 2.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$0 + \frac{5 (24 e^{- 20 t})}{5 \cdot 1}$

단계 2.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$0 + \frac{24 e^{- 20 t}}{1}$

단계 2.11.2.4

$24 e^{- 20 t}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0 + 24 e^{- 20 t}$

단계 3

$0$ 를 $24 e^{- 20 t}$ 에 더합니다.

$24 e^{- 20 t}$