미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2}$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 3 x^{2}$ 입니다.

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단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int 3 x^{2} d x}$

단계 1.2

$3 x^{2}$ 를 적분합니다.

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단계 1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{3 \int x^{2} d x}$

단계 1.2.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$e^{3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)}$

단계 1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ 을 $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C}$

단계 1.2.3.2

간단히 합니다.

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단계 1.2.3.2.1

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

단계 1.2.3.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

단계 1.2.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{1 x^{3} + C}$

단계 1.2.3.2.3

$x^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x^{3} + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{x^{3}}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{x^{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

각 항에 $e^{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{3}} (3 x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$

단계 2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$

단계 2.3

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = x^{2} e^{x^{3}}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] = x^{2} e^{x^{3}}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] d x = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{x^{3}} y = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

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단계 6.1

먼저 $u_{2} = e^{x^{3}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.1.1

$u_{2} = e^{x^{3}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1.1

$e^{x^{3}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

단계 6.1.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 6.1.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 6.1.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 6.1.1.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

단계 6.1.1.4

간단히 합니다.

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단계 6.1.1.4.1

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

단계 6.1.1.4.2

$3 e^{x^{3}} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

단계 6.1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{x^{3}} y = \int \frac{1}{3} d u_{2}$

단계 6.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} u_{2} + C$

단계 6.3

$u_{2}$ 를 모두 $e^{x^{3}}$ 로 바꿉니다.

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

단계 7

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ 의 각 항을 $e^{x^{3}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ 의 각 항을 $e^{x^{3}}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$e^{x^{3}}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$e^{x^{3}}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

단계 7.3.1.2

$\frac{1}{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{3} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$