미적분 예제

$y = \frac{x}{e^{x}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x}{e^{x}})$

단계 2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (y) = x$ , $g (y) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 는 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

단계 3.2

${(e^{x})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

단계 3.2.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{x} x' - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 3.4

$f (y) = e^{y}$ , $g (y) = x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{x} x' - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

단계 3.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} x' - x (e^{u} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

단계 3.4.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

단계 3.5

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

단계 3.6

간단히 합니다.

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단계 3.6.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x} x' - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

단계 3.6.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.2.1

$e^{x} x' - e^{x} x x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.6.2.1.1

$e^{x} x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x' e^{x} - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

단계 3.6.2.1.2

$- e^{x} x x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x' e^{x} + x' (- e^{x} x)}{e^{2 x}}$

단계 3.6.2.1.3

$x' e^{x} + x' (- e^{x} x)$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x' (e^{x} - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

단계 3.6.2.2

$e^{x} - e^{x} x$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.6.2.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

단계 3.6.2.2.2

$- e^{x} x$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x))}{e^{2 x}}$

단계 3.6.2.2.3

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x)$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x' (e^{x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

$\frac{x' e^{x} (1 - x)}{e^{2 x}}$

단계 3.6.3

$e^{x}$ 및 $e^{2 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.3.1

$x' e^{x} (1 - x)$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

단계 3.6.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.3.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

단계 3.6.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

단계 3.6.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{1}$

단계 3.6.3.2.4

$x' e^{- x} (1 - x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' e^{- x} (1 - x)$

단계 3.6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$

단계 3.6.5

$x'$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x' e^{- x} + x' e^{- x} (- x)$

단계 3.6.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x' e^{- x} - x' e^{- x} x$

단계 3.6.7

$x' e^{- x} - x' e^{- x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 = e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

단계 5

$x'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$

단계 5.2

$e^{- x} x' - x e^{- x} x'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x' e^{- x} - x x' e^{- x} = 1$

단계 5.3

$x' e^{- x} - x x' e^{- x}$ 에서 $x' e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$x' e^{- x}$ 에서 $x' e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$x' e^{- x} \cdot 1 - x x' e^{- x} = 1$

단계 5.3.2

$- x x' e^{- x}$ 에서 $x' e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x) = 1$

단계 5.3.3

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$ 에서 $x' e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$x' e^{- x} (1 - x) = 1$

단계 5.4

$x' e^{- x} (1 - x) = 1$ 의 각 항을 $e^{- x} (1 - x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$x' e^{- x} (1 - x) = 1$ 의 각 항을 $e^{- x} (1 - x)$ 로 나눕니다.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.1

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

단계 5.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

단계 5.4.2.2

$1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

단계 5.4.2.2.2

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$