미적분 예제

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x}}{x}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}{lim_{x \to - \infty} x}$

단계 1.1.2

지수 $- x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{- x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x}$

단계 1.1.3

최고차항이 양수인 홀수 차수의 다항식에 대한 음의 무한대에서의 극한값은 음의 무한대입니다.

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 1.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 1.2

$\frac{\infty}{- \infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x}}{x} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.2.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.6

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 \cdot e^{- x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.7

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- e^{- x}}{1}$

단계 1.4

$- e^{- x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to - \infty} - e^{- x}$

단계 2

$e^{- x}$ 함수가 $\infty$ 에 접근하므로, 음수 상수 $- 1$ 배 함수는 $- \infty$ 에 근접합니다.

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단계 2.1

상수 배수 $- 1$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$lim_{x \to - \infty} e^{- x}$

단계 2.2

지수 $- x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{- x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\infty$

단계 2.3

$e^{- x}$ 함수가 $\infty$ 에 접근하므로, 음수 상수 $- 1$ 배 함수는 $- \infty$ 에 근접합니다.

$- \infty$