미적분 예제

$lim_{x \to 0^{+}} {(3 x + 1)}^{\cot (x)}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${(3 x + 1)}^{\cot (x)}$ 을 $e^{\ln ({(3 x + 1)}^{\cot (x)})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(3 x + 1)}^{\cot (x)})}$

단계 1.2

$\cot (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(3 x + 1)}^{\cot (x)})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (3 x + 1)}$

단계 2

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (3 x + 1)}$

단계 3

$\cot (x) \ln (3 x + 1)$ 을 $\frac{\ln (3 x + 1)}{\frac{1}{\cot (x)}}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (3 x + 1)}{\frac{1}{\cot (x)}}}$

단계 4

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 4.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (3 x + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

단계 4.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 4.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1.2.1.1

극한을 로그 안으로 옮깁니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

단계 4.1.2.1.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 3 x + lim_{x \to 0^{+}} 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

단계 4.1.2.1.3

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

단계 4.1.2.1.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to 0^{+}} x + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

단계 4.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{\ln (3 \cdot 0 + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

단계 4.1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.3.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

단계 4.1.2.3.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

단계 4.1.2.3.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

단계 4.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 4.1.3.1

삼각함수 항등식 적용하기

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단계 4.1.3.1.1

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}}$

단계 4.1.3.1.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

단계 4.1.3.1.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}}$

단계 4.1.3.2

탄젠트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$e^{\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

단계 4.1.3.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{0}{\tan (0)}}$

단계 4.1.3.4

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$e^{\frac{0}{0}}$

단계 4.1.3.5

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{0}{0}}$

단계 4.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{0}{0}}$

단계 4.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (3 x + 1)}{\frac{1}{\cot (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}$

단계 4.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 4.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

단계 4.3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 3 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x + 1$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

단계 4.3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

단계 4.3.2.3

$u$ 를 모두 $3 x + 1$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

단계 4.3.3

합의 법칙에 의해 $3 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

단계 4.3.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

단계 4.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

단계 4.3.6

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

단계 4.3.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

단계 4.3.8

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

단계 4.3.9

$\frac{1}{3 x + 1}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

단계 4.3.10

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}]}}$

단계 4.3.11

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

단계 4.3.12

$1$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

단계 4.3.13

간단히 합니다.

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단계 4.3.13.1

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

단계 4.3.13.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

단계 4.3.14

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

단계 4.3.15

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

단계 4.3.16

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

단계 4.3.17

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

단계 4.3.18

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

단계 4.3.19

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

단계 4.3.20

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

단계 4.3.21

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

단계 4.3.22

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

단계 4.3.23

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

단계 4.3.24

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

단계 4.3.25

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}}}$

단계 4.3.26

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

단계 4.3.27

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.27.1

항을 다시 배열합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

단계 4.3.27.2

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}}$

단계 4.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{3}{3 x + 1} \cos^{2} (x)}$

단계 4.5

$\frac{3}{3 x + 1}$ 와 $\cos^{2} (x)$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 \cos^{2} (x)}{3 x + 1}}$

단계 5

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{3 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos^{2} (x)}{3 x + 1}}$

단계 5.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{3 \frac{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1}}$

단계 5.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\cos^{2} (x)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{3 \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1}}$

단계 5.4

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1}}$

단계 5.5

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

단계 5.6

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

단계 5.7

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

단계 6

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{3 \frac{\cos^{2} (0)}{3 lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

단계 6.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{3 \frac{\cos^{2} (0)}{3 \cdot 0 + 1}}$

단계 7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$e^{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 0 + 1}}$

단계 7.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$e^{3 \frac{1}{3 \cdot 0 + 1}}$

단계 7.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{3 \frac{1}{0 + 1}}$

단계 7.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{3 (\frac{1}{1})}$

단계 7.3

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

공약수로 약분합니다.

$e^{3 (\frac{1}{1})}$

단계 7.3.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{3 \cdot 1}$

단계 7.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{3}$