미적분 예제

$g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 - x^{2}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{2} + 4$ , $g (x) = 4 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{(4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(4 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.3

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{(4 - x^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(4 - x^{2}) (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.4.2

$4 - x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.5

합의 법칙에 의해 $4 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.6

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.7

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.9

곱합니다.

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단계 1.2.9.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (4 - x^{2}) x + 1 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.9.2

$x^{2} + 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (4 - x^{2}) x + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (4 - x^{2}) x + (x^{2} + 4) (2 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.11

$x^{2} + 4$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 (4 - x^{2}) x + 2 \cdot (x^{2} + 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 \cdot 4 + 2 (- x^{2})) x + 2 (x^{2} + 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cdot 4 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (x^{2} + 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cdot 4 x + 2 (- x^{2}) x + (2 x^{2} + 2 \cdot 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cdot 4 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.5.1.1

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.5.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.5.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{8 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.5.1.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.5.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{8 x + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.5.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{8 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.5.1.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{8 x + 2 (- x^{3}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.5.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.5.1.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.5.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{8 x - 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.5.1.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.5.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{8 x - 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.5.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.5.1.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.5.1.5

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.5.2

$8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 8 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 1.3.5.2.1

$- 2 x^{3}$ 를 $2 x^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{8 x + 0 + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.5.2.2

$8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{8 x + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.5.3

$8 x$ 를 $8 x$ 에 더합니다.

$\frac{16 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{16 x}{{(- x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 1.3.7

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.3.7.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{16 x}{{(- x^{2} + 2^{2})}^{2}}$

단계 1.3.7.2

$- x^{2}$ 와 $2^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{16 x}{{(2^{2} - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.7.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{16 x}{{((2 + x) (2 - x))}^{2}}$

단계 1.3.7.4

$(2 + x) (2 - x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{16 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{16 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}]$ 입니다.

$16 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}]$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}]}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}]}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.3.2

${(2 + x)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}]}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.4

$f (x) = {(2 + x)}^{2}$ , $g (x) = {(2 - x)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{2}] + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.5

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 2 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 - x$ 로 바꿉니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.5.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 - x$ 로 바꿉니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (2 (2 - x) \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.6

미분합니다.

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단계 2.6.1

${(2 + x)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 \cdot {(2 + x)}^{2} (2 - x) \frac{d}{d x} [2 - x] + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.6.2

합의 법칙에 의해 $2 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.6.3

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.6.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \frac{d}{d x} [- x] + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.6.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.6.6

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \frac{d}{d x} [x] + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.6.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \cdot 1 + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.6.8

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.7

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 2 + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 + x$ 로 바꿉니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [2 + x]))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.7.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [2 + x]))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.7.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 + x$ 로 바꿉니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (2 (2 + x) \frac{d}{d x} [2 + x]))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.8

미분합니다.

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단계 2.8.1

${(2 - x)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 \cdot {(2 - x)}^{2} (2 + x) \frac{d}{d x} [2 + x])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.8.2

합의 법칙에 의해 $2 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.8.3

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} [x]))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.8.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x]$ 에 더합니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) \frac{d}{d x} [x])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.8.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) \cdot 1)}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.8.6

분수를 통분합니다.

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단계 2.8.6.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.8.6.2

$16$ 와 $\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9

간단히 합니다.

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단계 2.9.1

${(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x)) - x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}) + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.9.4.1

$16 {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))$ 에서 $16 (2 + x) (2 - x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.9.4.1.1

$16 {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ 에서 $16 (2 + x) (2 - x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.1.2

$16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x)))$ 에서 $16 (2 + x) (2 - x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.1.3

$16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))$ 에서 $16 (2 + x) (2 - x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.1.4

$16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x)))$ 에서 $16 (2 + x) (2 - x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.1.5

$16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))$ 에서 $16 (2 + x) (2 - x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x)) - x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.2

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.4.2.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) + 2 x (2 + x) - x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.4.3.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 + x) (2 - x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.4.3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 (2 - x) + x (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.4.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.4.3.2.1.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.2.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.2.1.3

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - x \cdot x + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.2.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.4.3.2.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.2.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.2.2

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 0 - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.2.3

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 x \cdot x - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x \cdot x - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.4.3.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 (x \cdot x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 2 x (- x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.7

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x (- x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.8

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot - 1 x \cdot x)}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.9

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.4.3.9.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.4.3.9.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot - 1 (x \cdot x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.9.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot - 1 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.3.9.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.4

$4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.4.4.1

$4 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x^{2} + 0 + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.4.2

$4 - x^{2} + 2 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x^{2} + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.5

$- x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + x^{2} + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.4.6

$x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.5

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.5.1

${({(2 + x)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.5.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{2 \cdot 2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.5.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

단계 2.9.5.2

${({(2 - x)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{2 \cdot 2}}$

단계 2.9.5.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

단계 2.9.5.3

$2 + x$ 및 ${(2 + x)}^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.5.3.1

$16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})$ 에서 $2 + x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

단계 2.9.5.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.5.3.2.1

${(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}$ 에서 $2 + x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

단계 2.9.5.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

단계 2.9.5.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

단계 2.9.5.4

$2 - x$ 및 ${(2 - x)}^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.5.4.1

$16 (2 - x) (4 + 3 x^{2})$ 에서 $2 - x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

단계 2.9.5.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.5.4.2.1

${(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}$ 에서 $2 - x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

단계 2.9.5.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

단계 2.9.5.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

단계 3

$g (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$ 입니다.

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$