미적분 예제

$\int x \sqrt{1 - x^{4}} d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sqrt{1 - {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ 을 ${u_{1}}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \sqrt{1 - {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.2

$\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{1 - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

단계 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $u_{1} = \sin (t)$ 라고 하면 $d u_{1} = \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\cos (t)$ 는 양수입니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

단계 5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

단계 5.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \cos (t) \cos (t) d t$

단계 5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

단계 5.2.2

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

단계 5.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} \int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

단계 5.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t$

단계 6

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (t)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

단계 8.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

단계 11

먼저 $u_{2} = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$u_{2} = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 11.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 11.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 11.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 11.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

단계 12

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

단계 13

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

단계 14

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

단계 15

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

단계 16

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$t$ 를 모두 $\arcsin (u_{1})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

단계 16.2

$u_{2}$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

단계 16.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

단계 16.4

$t$ 를 모두 $\arcsin (u_{1})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (u_{1}))) + C$

단계 16.5

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x^{2}))) + C$

단계 17

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 \arcsin (x^{2}))$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{2}) + C$

단계 17.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} \arcsin (x^{2}) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{2} + C$

단계 17.3

$\frac{1}{4}$ 와 $\arcsin (x^{2})$ 을 묶습니다.

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{2} + C$

단계 17.4

조합합니다.

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{1 \sin (2 \arcsin (x^{2}))}{4 \cdot 2} + C$

단계 17.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.5.1

$\sin (2 \arcsin (x^{2}))$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{4 \cdot 2} + C$

단계 17.5.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{8} + C$

단계 18

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{4} \arcsin (x^{2}) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (x^{2})) + C$