미적분 예제

$\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

단계 2.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

단계 2.6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

단계 2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 3.2

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.3

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.4

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.4.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.5

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.6

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.7

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.7.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.7.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.7.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.9

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.11

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.11.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.11.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.13

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.14

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.15

지수를 더하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 에 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.15.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.15.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.15.3

$- 2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.15.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.16

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{4}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.17

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.18

$\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

단계 3.19

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 0$

단계 3.20

$\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

단계 4.2

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$