미적분 예제

$y = x^{3} \sqrt{x + 1}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + 1}$ 을(를) ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = x^{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.7

분수를 통분합니다.

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단계 4.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$x^{3} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$x^{3} (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.7.4

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.8

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.10

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.11

식을 간단히 합니다.

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단계 4.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.11.2

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.12

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

단계 4.13

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

단계 4.14

공통분모를 사용하여 $\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 을 하나로 묶습니다.

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단계 4.14.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

단계 4.14.2

공통 분모를 가지는 분수로 $3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.14.3

$3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.14.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.15

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.16

지수를 더하여 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.16.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.16.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.16.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.16.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.16.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} {(x + 1)}^{1}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.17

$6 x^{2} {(x + 1)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.18

간단히 합니다.

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단계 4.18.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.18.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.18.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.18.2.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.18.2.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{3} + 6 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.18.2.1.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.18.2.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3} + 6 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.18.2.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{3} + 6 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.18.2.1.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} + 6 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.18.2.1.2

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} + 6 x^{3} + 6 x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.18.2.2

$x^{3}$ 를 $6 x^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{7 x^{3} + 6 x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.18.3

$7 x^{3} + 6 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.18.3.1

$7 x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (7 x) + 6 x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.18.3.2

$6 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot 6}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.18.3.3

$x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot 6$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (7 x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{x^{2} (7 x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (7 x + 6)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$