미적분 예제

$x^{4} (x + y) = y^{2} (3 x - y)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (x^{4} (x + y)) = \frac{d}{d y} (y^{2} (3 x - y))$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (y) = x^{4}$ , $g (y) = x + y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} \frac{d}{d y} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ 가 됩니다.

$x^{4} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{4} (x' + \frac{d}{d y} [y]) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

단계 2.5

$f (y) = y^{4}$ , $g (y) = x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x$ 로 바꿉니다.

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d y} [x])$

단계 2.5.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (4 u^{3} \frac{d}{d y} [x])$

단계 2.5.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (4 x^{3} \frac{d}{d y} [x])$

단계 2.6

$x + y$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x^{4} (x' + 1) + 4 \cdot (x + y) x^{3} \frac{d}{d y} [x]$

단계 2.7

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{4} (x' + 1) + 4 (x + y) x^{3} x'$

단계 2.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + 4 (x + y) x^{3} x'$

단계 2.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + (4 x + 4 y) x^{3} x'$

단계 2.8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + (4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}) x'$

단계 2.8.4

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + 4 x \cdot x^{3} x' + 4 y x^{3} x'$

단계 2.8.5

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.5.1

$x^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x \cdot x^{3} x' + 4 y x^{3} x'$

단계 2.8.5.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.5.2.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$x^{4} x' + x^{4} + 4 (x^{3} x) x' + 4 y x^{3} x'$

단계 2.8.5.2.2

$x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.5.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{4} x' + x^{4} + 4 (x^{3} x^{1}) x' + 4 y x^{3} x'$

단계 2.8.5.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x^{3 + 1} x' + 4 y x^{3} x'$

단계 2.8.5.2.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x^{4} x' + 4 y x^{3} x'$

단계 2.8.5.3

$x^{4} x'$ 를 $4 x^{4} x'$ 에 더합니다.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 y x^{3} x'$

단계 2.8.6

항을 다시 정렬합니다.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (y) = y^{2}$ , $g (y) = 3 x - y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{2} \frac{d}{d y} [3 x - y] + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $3 x - y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ 가 됩니다.

$y^{2} (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 3.2.2

$3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d y} [x]$ 입니다.

$y^{2} (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{2} (3 x' + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 3.4

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$y^{2} (3 x' - \frac{d}{d y} [y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{2} (3 x' - 1 \cdot 1) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 3.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} (3 x' - 1) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{2} (3 x' - 1) + (3 x - y) (2 y)$

단계 3.8

$3 x - y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y^{2} (3 x' - 1) + 2 \cdot (3 x - y) y$

단계 3.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x - y) y$

단계 3.9.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + (2 (3 x) + 2 (- y)) y$

단계 3.9.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

단계 3.9.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.4.1

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 \cdot y^{2} x' + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

단계 3.9.4.2

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$3 y^{2} x' - 1 \cdot y^{2} + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

단계 3.9.4.3

$- 1 y^{2}$ 을 $- y^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 y^{2} x' - y^{2} + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

단계 3.9.4.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y + 2 (- y) y$

단계 3.9.4.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y \cdot y$

단계 3.9.4.6

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 (y^{1} y)$

단계 3.9.4.7

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 (y^{1} y^{1})$

단계 3.9.4.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y^{1 + 1}$

단계 3.9.4.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y^{2}$

단계 3.9.4.10

$- y^{2}$ 에서 $2 y^{2}$ 을 뺍니다.

$3 y^{2} x' - 3 y^{2} + 6 x y$

단계 3.9.5

항을 다시 정렬합니다.

$- 3 y^{2} + 3 y^{2} x' + 6 x y$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' = - 3 y^{2} + 3 y^{2} x' + 6 x y$

단계 5

$x'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에서 $3 y^{2} x'$ 를 뺍니다.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $x^{4}$ 를 뺍니다.

$5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

단계 5.3

$5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$5 x^{4} x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (5 x^{4}) + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

단계 5.3.2

$4 x^{3} y x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y) - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

단계 5.3.3

$- 3 y^{2} x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

단계 5.3.4

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y)$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

단계 5.3.5

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2})$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

단계 5.4

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ 의 각 항을 $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ 의 각 항을 $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

단계 5.4.2.1.2

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x' = - \frac{(3) y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

단계 5.4.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x' = - \frac{3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} - \frac{x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

단계 5.4.3.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} - \frac{x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

단계 5.4.3.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

단계 5.4.3.2.3

$- 3 y^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{- (3 y^{2}) + 6 x y - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

단계 5.4.3.2.4

$6 x y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{- (3 y^{2}) - (- 6 x y) - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

단계 5.4.3.2.5

$- (3 y^{2}) - (- 6 x y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y) - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

단계 5.4.3.2.6

$- x^{4}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

단계 5.4.3.2.7

$- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

단계 5.4.3.2.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.2.8.1

$- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ 을 $- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ 로 바꿔 씁니다.

$x' = \frac{- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

단계 5.4.3.2.8.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x' = - \frac{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$