미적분 예제

$y = x^{2} \cos (x)$

단계 1

$y = f (x)$ 로 두고, 양변 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 에 자연 로그를 취합니다.

$\ln (y) = \ln (x^{2} \cos (x))$

단계 2

왼편을 확장합니다.

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단계 2.1

$\ln (x^{2} \cos (x))$ 을 $\ln (x^{2}) + \ln (\cos (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (y) = \ln (x^{2}) + \ln (\cos (x))$

단계 2.2

$2$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{2})$ 을 전개합니다.

$\ln (y) = 2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$

단계 3

연쇄 법칙을 사용하여 식을 미분합니다. $y$ 이 $x$ 의 함수라는 점에 유의하십시오.

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단계 3.1

연쇄 법칙을 사용해 좌측 변 $\ln (y)$ 을 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$

단계 3.2

우측 변을 미분합니다.

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단계 3.2.1

$2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$ 를 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\cos (x))]$

단계 3.2.2

합의 법칙에 의해 $2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ 가 됩니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

단계 3.2.3

$\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \ln (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

단계 3.2.3.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

단계 3.2.3.3

$2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

단계 3.2.4

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.4.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.4.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.4.1.3

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.4.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

단계 3.2.4.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \sec (x) (- \sin (x))$

단계 3.2.5

간단히 합니다.

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단계 3.2.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{y'}{y} = - \sec (x) \sin (x) + \frac{2}{x}$

단계 3.2.5.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.5.2.1

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{y'}{y} = - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{2}{x}$

단계 3.2.5.2.2

$\sin (x)$ 와 $\frac{1}{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{x}$

단계 3.2.5.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{y'}{y} = - \tan (x) + \frac{2}{x}$

단계 4

$y'$ 을 분리하고 우변의 $y$ 에 원래 함수를 대입합니다.

$y' = (- \tan (x) + \frac{2}{x}) (x^{2} \cos (x))$

단계 5

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$y' = (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{x}) (x^{2} \cos (x))$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y' = - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

단계 5.3

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.1

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

단계 5.3.2

$x^{2} \cos (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) x^{2}) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

단계 5.3.3

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) x^{2}) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

단계 5.3.4

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

단계 5.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.1

$x^{2} \cos (x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x (x \cos (x)))$

단계 5.4.2

공약수로 약분합니다.

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x (x \cos (x)))$

단계 5.4.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \sin (x) x^{2} + 2 (x \cos (x))$

단계 5.5

$- \sin (x) x^{2} + 2 x \cos (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = - x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$