미적분 예제

$\int \frac{5 t^{2} + 7}{t^{\frac{4}{3}}} d t$

단계 1

$t^{\frac{4}{3}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (5 t^{2} + 7) {(t^{\frac{4}{3}})}^{- 1} d t$

단계 2

${(t^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (5 t^{2} + 7) t^{\frac{4}{3} \cdot - 1} d t$

단계 2.2

$\frac{4}{3} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{4}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int (5 t^{2} + 7) t^{\frac{4 \cdot - 1}{3}} d t$

단계 2.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int (5 t^{2} + 7) t^{\frac{- 4}{3}} d t$

단계 2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int (5 t^{2} + 7) t^{- \frac{4}{3}} d t$

단계 3

$(5 t^{2} + 7) t^{- \frac{4}{3}}$ 을 전개합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 5 t^{2} t^{- \frac{4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

단계 3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 5 t^{2 - \frac{4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\int 5 t^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

단계 3.4

$2$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\int 5 t^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int 5 t^{\frac{2 \cdot 3 - 4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int 5 t^{\frac{6 - 4}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

단계 3.6.2

$6$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\int 5 t^{\frac{2}{3}} + 7 t^{- \frac{4}{3}} d t$

단계 3.7

$5 t^{\frac{2}{3}}$ 와 $7 t^{- \frac{4}{3}}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int 7 t^{- \frac{4}{3}} + 5 t^{\frac{2}{3}} d t$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 7 t^{- \frac{4}{3}} d t + \int 5 t^{\frac{2}{3}} d t$

단계 5

$7$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $7$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$7 \int t^{- \frac{4}{3}} d t + \int 5 t^{\frac{2}{3}} d t$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $t^{- \frac{4}{3}}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $- 3 t^{- \frac{1}{3}}$ 가 됩니다.

$7 (- 3 t^{- \frac{1}{3}} + C) + \int 5 t^{\frac{2}{3}} d t$

단계 7

$5$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$7 (- 3 t^{- \frac{1}{3}} + C) + 5 \int t^{\frac{2}{3}} d t$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $t^{\frac{2}{3}}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}$ 가 됩니다.

$7 (- 3 t^{- \frac{1}{3}} + C) + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

간단히 합니다.

$7 (- 3 \frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}) + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}$ 을 묶습니다.

$7 \frac{- 3}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

단계 9.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$7 (- \frac{3}{t^{\frac{1}{3}}}) + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

단계 9.2.3

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$- 7 \frac{3}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

단계 9.2.4

$- 7$ 와 $\frac{3}{t^{\frac{1}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 7 \cdot 3}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

단계 9.2.5

$- 7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 21}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

단계 9.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}) + C$

단계 9.2.7

$\frac{3}{5}$ 와 $t^{\frac{5}{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + 5 \frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

단계 9.2.8

$5$ 와 $\frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5}$ 을 묶습니다.

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 (3 t^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

단계 9.2.9

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{15 t^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

단계 9.2.10

$15 t^{\frac{5}{3}}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 (3 t^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

단계 9.2.11

공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.11.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 (3 t^{\frac{5}{3}})}{5 (1)} + C$

단계 9.2.11.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 (3 t^{\frac{5}{3}})}{5 \cdot 1} + C$

단계 9.2.11.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + \frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{1} + C$

단계 9.2.11.4

$3 t^{\frac{5}{3}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{21}{t^{\frac{1}{3}}} + 3 t^{\frac{5}{3}} + C$