미적분 예제

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sin (x)}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$x^{\sin (x)}$ 을 $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sin (x)})}$

단계 1.2

$\sin (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{\sin (x)})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sin (x) \ln (x)}$

단계 2

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \ln (x)}$

단계 3

$\sin (x) \ln (x)$ 을 $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

단계 4

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 4.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}}$

단계 4.1.2

$x$ 이(가) 오른쪽에서 $0$ 에 접근함에 따라 $\ln (x)$ 이(가) 무한히 감수합니다.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}}$

단계 4.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 4.1.3.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \csc (x)}}$

단계 4.1.3.2

$x$ 값이 오른쪽에서 $0$ 에 근접함에 따라 함수 값이 무한히 증가합니다.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

단계 4.1.3.3

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

단계 4.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

단계 4.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

단계 4.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 4.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}}$

단계 4.3.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}}$

단계 4.3.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\sin^{- 1} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sin^{- 1} (x)]}}$

단계 4.3.4

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

단계 4.3.4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

단계 4.3.4.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

단계 4.3.5

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \cos (x)}}$

단계 4.3.6

간단히 합니다.

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단계 4.3.6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x)}}$

단계 4.3.6.2

$\cos (x)$ 와 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

단계 4.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}$

단계 4.5

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x \cos (x)}}$

단계 4.6

$\sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{x \cos (x)}}$

단계 4.7

분수를 나눕니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 4.8

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{x} \tan (x)}$

단계 4.9

$\frac{\sin (x)}{x}$ 와 $\tan (x)$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}}$

단계 5

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}}$

단계 6

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 6.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 6.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

단계 6.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 6.1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

단계 6.1.2.2

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

단계 6.1.2.3

탄젠트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

단계 6.1.2.4

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 6.1.2.4.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{- \frac{\sin (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

단계 6.1.2.4.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{- \frac{\sin (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

단계 6.1.2.5

답을 간단히 합니다.

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단계 6.1.2.5.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$e^{- \frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

단계 6.1.2.5.2

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

단계 6.1.2.5.3

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

단계 6.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{- \frac{0}{0}}$

단계 6.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{- \frac{0}{0}}$

단계 6.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 6.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 6.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 6.3.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 6.3.3

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 6.3.4

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 6.3.5

간단히 합니다.

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단계 6.3.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (x) \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 6.3.5.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.5.2.1

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 6.3.5.2.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 6.3.5.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 6.3.5.2.4

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 6.3.5.2.5

사인과 코사인으로 표현되도록 수식을 바꾸고 공약수를 소거합니다.

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단계 6.3.5.2.5.1

$\cos (x)$ 와 $\tan (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 6.3.5.2.5.2

$\cos (x) \tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 6.3.5.2.5.3

공약수로 약분합니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 6.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{1}}$

단계 6.4

항을 묶습니다.

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단계 6.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\sin (x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 을 곱합니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}}$

단계 6.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}}$

단계 6.5

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

단계 7

극한값을 계산합니다.

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단계 7.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

단계 7.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

단계 7.3

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

단계 7.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

단계 7.5

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

단계 7.6

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\cos^{2} (x)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

단계 7.7

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

단계 7.8

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\cos^{2} (x)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}}$

단계 7.9

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

단계 8

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

단계 8.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

단계 8.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

단계 8.4

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

단계 9

답을 간단히 합니다.

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단계 9.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$e^{- \frac{0 + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

단계 9.1.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

단계 9.1.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot 1^{2}}{\cos^{2} (0)}}$

단계 9.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

단계 9.1.5

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- \frac{0 + 0}{\cos^{2} (0)}}$

단계 9.1.6

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{- \frac{0}{\cos^{2} (0)}}$

단계 9.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$e^{- \frac{0}{1^{2}}}$

단계 9.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$e^{- \frac{0}{1}}$

단계 9.3

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{- 0}$

단계 9.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{0}$

단계 10

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$1$