미적분 예제

$\frac{2 - \frac{1}{x}}{x - 3}$

단계 1

$f (x) = 2 - \frac{1}{x}$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [2 - \frac{1}{x}] - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 - \frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.2

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{(x - 3) (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(x - 3) (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 4.3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 3) (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 4.3.2

$x^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 3) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 4.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{(x - 3) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 4.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$\frac{1}{x}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 3) (x^{- 2} + 0) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 4.5.2

$x^{- 2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 4.6

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 4.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 4.8

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 4.9

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 4.9.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x})}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{(x - 3) \frac{1}{x^{2}} - (2 - \frac{1}{x})}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \frac{1}{x^{2}} - 3 \frac{1}{x^{2}} - (2 - \frac{1}{x})}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \frac{1}{x^{2}} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \frac{1}{x \cdot x} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.4.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{1}{x \cdot x} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.4.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{1}{x} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.4.1.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{1}{x} + \frac{- 3}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.4.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.4.1.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.4.1.5

$- - \frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 2 + 1 \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.4.1.5.2

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 2 + \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2 + \frac{1 + 1}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.4.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 + \frac{2}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.4.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.5

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$\frac{- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{x} \cdot \frac{- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 5.5.2

조합합니다.

$\frac{x (- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot - 2 + x \frac{2}{x} + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.5.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \cdot - 2 + x \frac{2}{x} + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x \cdot - 2 + 2 + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.5.5

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$\frac{- 2 \cdot x + 2 + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.5.6

$x$ 와 $\frac{3}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x^{2}}}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.5.7

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{3 \cdot x}{x^{2}}}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.5.8

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.8.1

$3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x^{2}}}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.5.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.8.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x \cdot x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.5.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x \cdot x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.5.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{3}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 2 x - \frac{3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2 x$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.7.2

$- 2 x$ 와 $\frac{x}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{- 2 x \cdot x}{x} - \frac{3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.7.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{- 2 x \cdot x - 3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.7.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{- 2 (x \cdot x) - 3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.7.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.7.5

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 3}{x} + \frac{2 x}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.7.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 3 + 2 x}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.7.7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.8

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x} \cdot \frac{1}{x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.9

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x} \cdot \frac{1}{x {(x - 3)}^{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x}$ 에 $\frac{1}{x {(x - 3)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x (x {(x - 3)}^{2})}$

단계 5.9.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{1} x {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.9.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{1} x^{1} {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.9.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{1 + 1} {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.9.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.10

$- 2 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x^{2}) + 2 x - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.11

$2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x^{2}) - (- 2 x) - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.12

$- (2 x^{2}) - (- 2 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x^{2} - 2 x) - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.13

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (2 x^{2} - 2 x) - 1 (3)}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.14

$- (2 x^{2} - 2 x) - 1 (3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.15

$- (2 x^{2} - 2 x + 3)$ 을 $- 1 (2 x^{2} - 2 x + 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (2 x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

단계 5.16

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$