미적분 예제

$\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

단계 1

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{e}^{t} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

단계 2

먼저 $u = \ln (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{x} d x$ 이므로 $x d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = \ln (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$\ln (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 2.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{1}{x}$

단계 2.2

$u = \ln (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \ln (e)$

단계 2.3

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 2.4

$u = \ln (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \ln (t)$

단계 2.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \ln (t)$

단계 2.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

$u^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} {(u^{2})}^{- 1} d u$

단계 3.2

${(u^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{2 \cdot - 1} d u$

단계 3.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{- 2} d u$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u^{- 2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- u^{- 1}$ 가 됩니다.

$lim_{t \to \infty} - u^{- 1}]_{1}^{\ln (t)}$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\ln (t)$ , $1$ 일 때, $- u^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} (- \ln^{- 1} (t)) + 1^{- 1}$

단계 5.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t) + 1$

단계 6

극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t) + lim_{t \to \infty} 1$

단계 6.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t)} + lim_{t \to \infty} 1$

단계 6.3

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{\ln (t)}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

단계 6.4

극한값을 계산합니다.

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단계 6.4.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$0 + 1$

단계 6.4.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$