미적분 예제

$x^{2} y + 2 y^{3} = 3 x + 2 y$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + 2 y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x + 2 y)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} y + 2 y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

단계 2.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

단계 2.2.4

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 y^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 입니다.

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 2.3.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 y^{2} y')$

단계 2.3.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{2} y' + 2 y x + 6 y^{2} y'$

단계 2.4

항을 다시 정렬합니다.

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $3 x + 2 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 3.2.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [2 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$3 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 + 2 y'$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$2 y' + 3$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y' = 2 y' + 3$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에서 $2 y'$ 를 뺍니다.

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $2 x y$ 를 뺍니다.

$x^{2} y' + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3 - 2 x y$

단계 5.3

$x^{2} y' + 6 y^{2} y' - 2 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$x^{2} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' x^{2} + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3 - 2 x y$

단계 5.3.2

$6 y^{2} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2}) + y' (6 y^{2}) - 2 y' = 3 - 2 x y$

단계 5.3.3

$- 2 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2}) + y' (6 y^{2}) + y' \cdot - 2 = 3 - 2 x y$

단계 5.3.4

$y' (x^{2}) + y' (6 y^{2})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2} + 6 y^{2}) + y' \cdot - 2 = 3 - 2 x y$

단계 5.3.5

$y' (x^{2} + 6 y^{2}) + y' \cdot - 2$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$

단계 5.4

$y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$ 의 각 항을 $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$ 의 각 항을 $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2)}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.1

$x^{2} + 6 y^{2} - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2)}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

단계 5.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{3 - 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$