미적분 예제

$y = \ln (e^{x} + x e^{x})$

단계 1

$y = f (x)$ 로 두고, 양변 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 에 자연 로그를 취합니다.

$\ln (y) = \ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

단계 2

연쇄 법칙을 사용하여 식을 미분합니다. $y$ 이 $x$ 의 함수라는 점에 유의하십시오.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

연쇄 법칙을 사용해 좌측 변 $\ln (y)$ 을 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

단계 2.2

우측 변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$ 를 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))]$

단계 2.2.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \ln (e^{x} + x e^{x})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\ln (e^{x} + x e^{x})$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

단계 2.2.2.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

단계 2.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\ln (e^{x} + x e^{x})$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

단계 2.2.3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = e^{x} + x e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $e^{x} + x e^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

단계 2.2.3.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

단계 2.2.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $e^{x} + x e^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

단계 2.2.4

합의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$ 에 $\frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})}$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

단계 2.2.4.2

합의 법칙에 의해 $e^{x} + x e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

단계 2.2.5

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

단계 2.2.6

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.2.7

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.2.8

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.8.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

단계 2.2.8.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.8.2.1

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

단계 2.2.8.2.2

$e^{x}$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (x e^{x} + 2 e^{x})$

단계 2.2.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.9.1

$\frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (x e^{x} + 2 e^{x})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

단계 2.2.9.2

$e^{x} + x e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.9.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} \cdot 1 + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

단계 2.2.9.2.2

$x e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} \cdot 1 + e^{x} x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

단계 2.2.9.2.3

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

단계 2.2.9.3

$x e^{x} + 2 e^{x}$ 에 $\frac{1}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

단계 2.2.9.4

$x e^{x} + 2 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.9.4.1

$x e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

단계 2.2.9.4.2

$2 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

단계 2.2.9.4.3

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

단계 2.2.9.5

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.9.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

단계 2.2.9.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{x + 2}{(1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

단계 2.2.9.6

$\frac{x + 2}{(1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)}$

단계 3

$y'$ 을 분리하고 우변의 $y$ 에 원래 함수를 대입합니다.

$y' = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)} \ln (e^{x} + x e^{x})$

단계 4

$\ln (e^{x} + x e^{x})$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)} \ln (e^{x} + x e^{x})$

단계 4.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{x + 2}{1 + x}$