미적분 예제

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$2 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$ 의 미분은 $2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$ 입니다.

$2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$

단계 1.2

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 을 ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

단계 2

$f (y) = y^{- 1}$ , $g (y) = x^{2} + y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$2 x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$2 x (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))$

단계 3.3

$x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{2}$ 입니다.

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]))$

단계 3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ 에 더합니다.

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

단계 3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 y))$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

${(x^{2} + y^{2})}^{- 2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- 2 x (2 \cdot {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y)$

단계 3.6.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 4 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 4 x (\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} y)$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$- 4 x \frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 4.2.2

$- 4$ 와 $\frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$x \frac{- 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 4.2.3

$x$ 와 $\frac{- 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (- 4 y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 4.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x \cdot 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 4.2.5

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$- \frac{4 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$