미적분 예제

$x^{2} - 4 x y + 2 y^{2} = - 4 x$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x y + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4 x)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 4 x y + 2 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x y$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ 입니다.

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

단계 2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

단계 2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

단계 2.2.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 y^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 입니다.

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 y y')$

단계 2.3.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x - 4 (x y' + y) + 4 y y'$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x - 4 (x y') - 4 y + 4 y y'$

단계 2.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 x - 4 x y' - 4 y + 4 y y'$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 4 x y' + 4 y y' + 2 x - 4 y$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 \cdot 1$

단계 3.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$- 4 x y' + 4 y y' + 2 x - 4 y = - 4$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$- 4 x y' + 4 y y' - 4 y = - 4 - 2 x$

단계 5.1.2

방정식의 양변에 $4 y$ 를 더합니다.

$- 4 x y' + 4 y y' = - 4 - 2 x + 4 y$

단계 5.2

$- 4 x y' + 4 y y'$ 에서 $4 y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- 4 x y'$ 에서 $4 y'$ 를 인수분해합니다.

$4 y' (- x) + 4 y y' = - 4 - 2 x + 4 y$

단계 5.2.2

$4 y y'$ 에서 $4 y'$ 를 인수분해합니다.

$4 y' (- x) + 4 y' y = - 4 - 2 x + 4 y$

단계 5.2.3

$4 y' (- x) + 4 y' y$ 에서 $4 y'$ 를 인수분해합니다.

$4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$

단계 5.3

$4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$ 의 각 항을 $4 (- x + y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$ 의 각 항을 $4 (- x + y)$ 로 나눕니다.

$\frac{4 y' (- x + y)}{4 (- x + y)} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y' (- x + y)}{4 (- x + y)} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

단계 5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (- x + y)}{- x + y} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

단계 5.3.2.2

$- x + y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (- x + y)}{- x + y} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

단계 5.3.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

$- 4$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{4 \cdot - 1}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

단계 5.3.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{4 \cdot - 1}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

단계 5.3.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- 1}{- x + y} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

단계 5.3.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

단계 5.3.3.1.3

$- 2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.3.1

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

단계 5.3.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.3.2.1

$4 (- x + y)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{2 (2 (- x + y))} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

단계 5.3.3.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{2 (2 (- x + y))} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

단계 5.3.3.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{- x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

단계 5.3.3.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

단계 5.3.3.1.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

단계 5.3.3.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

단계 5.3.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{- x + y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{1}{- x + y} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

단계 5.3.3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(- x + y) \cdot 2$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.1

$\frac{1}{- x + y}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{2}{(- x + y) \cdot 2} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

단계 5.3.3.3.2

$(- x + y) \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = - \frac{2}{2 (- x + y)} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

단계 5.3.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

단계 5.3.3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{y}{- x + y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y} \cdot \frac{2}{2}$

단계 5.3.3.6

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $2 (- x + y)$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.6.1

$\frac{y}{- x + y}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y \cdot 2}{(- x + y) \cdot 2}$

단계 5.3.3.6.2

$(- x + y) \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y \cdot 2}{2 (- x + y)}$

단계 5.3.3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 2 - x + y \cdot 2}{2 (- x + y)}$

단계 5.3.3.8

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y' = \frac{- 2 - x + 2 y}{2 (- x + y)}$

단계 5.3.3.9

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.9.1

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (2) - x + 2 y}{2 (- x + y)}$

단계 5.3.3.9.2

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 1 (2) - (x) + 2 y}{2 (- x + y)}$

단계 5.3.3.9.3

$- 1 (2) - (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 1 (2 + x) + 2 y}{2 (- x + y)}$

단계 5.3.3.9.4

$2 y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 1 (2 + x) - (- 2 y)}{2 (- x + y)}$

단계 5.3.3.9.5

$- 1 (2 + x) - (- 2 y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- x + y)}$

단계 5.3.3.9.6

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x) + y)}$

단계 5.3.3.9.7

$y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x) - 1 (- y))}$

단계 5.3.3.9.8

$- (x) - 1 (- y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x - y))}$

단계 5.3.3.9.9

$- (x - y)$ 을 $- 1 (x - y)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- 1 (x - y))}$

단계 5.3.3.9.10

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- 1 (x - y))}$

단계 5.3.3.9.11

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{2 + x - 2 y}{2 (x - y)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + x - 2 y}{2 (x - y)}$