미적분 예제

$f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

단계 1.2.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{4}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x - (4 x^{3})$

단계 1.3.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 x - 4 x^{3}$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$- 4 x^{3} + 4 x$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 4 x^{3} + 4 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{3}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x)$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

단계 2.2.3

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \cdot 1$

단계 2.3.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

단계 4.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

단계 4.1.2.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{4}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

단계 4.1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x - (4 x^{3})$

단계 4.1.3.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x - 4 x^{3}$

단계 4.1.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 x$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 4 x^{3} + 4 x$ 입니다.

$- 4 x^{3} + 4 x$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 4 x^{3} + 4 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

단계 5.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- 4 x^{3} + 4 x$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 4 x^{3}$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

$- 4 x \cdot x^{2} + 4 x = 0$

단계 5.2.1.2

$4 x$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 1 = 0$

단계 5.2.1.3

$- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 1)$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

$- 4 x (x^{2} - 1) = 0$

단계 5.2.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

단계 5.2.3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$- 4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

단계 5.2.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

단계 5.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 5.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 5.5

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 5.5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 5.6

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 5.6.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5.7

$- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 1, 1$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0, - 1, 1$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 12 {(0)}^{2} + 4$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 12 \cdot 0 + 4$

단계 9.1.2

$- 12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 4$

단계 9.2

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$4$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 0$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 2 {(0)}^{2} - {(0)}^{4}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{4}$

단계 11.2.1.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

단계 11.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 0$

단계 11.2.1.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0$

단계 11.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0$

단계 11.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$y = 0$

단계 12

$x = - 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 12 {(- 1)}^{2} + 4$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 12 \cdot 1 + 4$

단계 13.1.2

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 12 + 4$

단계 13.2

$- 12$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- 8$

단계 14

이계도함수가 음수이므로 $x = - 1$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - 1$ 은 극대값입니다

단계 15

$x = - 1$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{4}$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - {(- 1)}^{4}$

단계 15.2.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 2 - {(- 1)}^{4}$

단계 15.2.1.3

지수를 더하여 $- 1$ 에 ${(- 1)}^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.3.1

$- 1$ 에 ${(- 1)}^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.3.1.1

$- 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (- 1) = 2 + (- 1) {(- 1)}^{4}$

단계 15.2.1.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{1 + 4}$

단계 15.2.1.3.2

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{5}$

단계 15.2.1.4

$- 1$ 를 $5$ 승 합니다.

$f (- 1) = 2 - 1$

단계 15.2.2

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (- 1) = 1$

단계 15.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$y = 1$

단계 16

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 12 {(1)}^{2} + 4$

단계 17

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 12 \cdot 1 + 4$

단계 17.1.2

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 12 + 4$

단계 17.2

$- 12$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- 8$

단계 18

이계도함수가 음수이므로 $x = 1$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1$ 은 극대값입니다

단계 19

$x = 1$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - {(1)}^{4}$

단계 19.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 2 \cdot 1 - {(1)}^{4}$

단계 19.2.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 2 - {(1)}^{4}$

단계 19.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 2 - 1 \cdot 1$

단계 19.2.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 2 - 1$

단계 19.2.2

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (1) = 1$

단계 19.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$y = 1$

단계 20

$f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$ 에 대한 극값입니다.

$(0, 0)$ 은 극솟값임

$(- 1, 1)$ 은 극댓값임

$(1, 1)$ 은 극댓값임

단계 21