미적분 예제

$\frac{x^{2}}{x - 1}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.2

$x - 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.3

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.4

$x^{2} - 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.2

$- 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.3

$x \cdot x + x \cdot - 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = x (x - 2)$ , $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

단계 2.2

${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

단계 2.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 2.3

$f (x) = x$ , $g (x) = x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 2.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 2.4.3

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 2.4.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 2.4.4.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 2.4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + (x - 2) \cdot 1) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 2.4.6

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.6.1

$x - 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 2.4.6.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 2.5

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 2.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 2.5.3

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 2.6

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 2.6.2

${(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

${(x - 1)}^{2} (2 x - 2)$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 2.6.2.2

$- 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) + (x - 1) (- 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 2.6.2.3

$(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) + (x - 1) (- 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 2.7

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

${(x - 1)}^{4}$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

단계 2.7.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

단계 2.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.8

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.10

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.11

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) \cdot 1}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.11.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2)}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.12.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (2 x - 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 2) - 1 (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.12.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.12.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.12.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.2.1.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.12.2.1.2.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.2.1.2.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.12.2.1.2.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.12.2.1.2.1.3

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.12.2.1.2.1.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.12.2.1.2.1.5

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x + 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.12.2.1.2.2

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.12.2.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.2.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.12.2.1.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.12.2.1.4

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.12.2.2

$2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} + 4 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.2.2.1

$2 x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 2 + 0 + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.12.2.2.2

$- 4 x + 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 2 + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.12.2.2.3

$- 4 x$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{0 + 2}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 2.12.2.2.4

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.2.2

$x - 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.2.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.3.3.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.1.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.3.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.4

$x^{2} - 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.3.4.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.4.2

$- 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.1.3.4.3

$x \cdot x + x \cdot - 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x (x - 2) = 0$

단계 5.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 2 = 0$

단계 5.3.2

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 5.3.3

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.3.3.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 5.3.3.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 5.3.4

$x (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 2$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 1)}^{2} = 0$

단계 6.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.2.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 6.2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0, 2$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{2}{{((0) - 1)}^{3}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

단계 9.1.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{2}{- 1}$

단계 9.2

$2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$- 2$

단계 10

이계도함수가 음수이므로 $x = 0$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

단계 11

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 1}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

단계 11.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

단계 11.2.3

$0$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$f (0) = 0$

단계 11.2.4

최종 답은 $0$ 입니다.

$y = 0$

단계 12

$x = 2$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{2}{{((2) - 1)}^{3}}$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

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단계 13.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 13.1.1

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{1^{3}}$

단계 13.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{2}{1}$

단계 13.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2$

단계 14

이계도함수가 양수이므로 $x = 2$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 2$ 은 극소값입니다.

단계 15

$x = 2$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{(2) - 1}$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 15.2.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (2) = \frac{4}{2 - 1}$

단계 15.2.2

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (2) = \frac{4}{1}$

단계 15.2.3

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (2) = 4$

단계 15.2.4

최종 답은 $4$ 입니다.

$y = 4$

단계 16

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ 에 대한 극값입니다.

$(0, 0)$ 은 극댓값임

$(2, 4)$ 은 극솟값임

단계 17