미적분 예제

$x e^{- x} - 2 e^{- x}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $x e^{- x} - 2 e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 2.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 2.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 2.7

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 2.8

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 2.9

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 e^{- x}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 입니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

단계 3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

단계 3.6

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

단계 3.7

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (- e^{- x})$

단계 3.8

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} + 2 e^{- x}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$e^{- x}$ 를 $2 e^{- x}$ 에 더합니다.

$x (- e^{- x}) + 3 e^{- x}$

단계 4.2

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{- x} x + 3 e^{- x}$

단계 4.3

$- e^{- x} x + 3 e^{- x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- x e^{- x} + 3 e^{- x}$