미적분 예제

$\int {(3 x^{2} - 4 x + 2)}^{4} (3 x - 2) d x$

단계 1

먼저 $u = 3 x^{2} - 4 x + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (6 x - 4) d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = (3 x - 2) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 3 x^{2} - 4 x + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$3 x^{2} - 4 x + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} - 4 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.4.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.4.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.5.1

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$6 x - 4 + 0$

단계 1.1.5.2

$6 x - 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 x - 4$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u^{4} \frac{1}{2} d u$

단계 2

$u^{4}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u^{4}}{2} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int u^{4} d u$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ 을 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

단계 5.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ 을 $\frac{1}{10} u^{5} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{10} u^{5} + C$

단계 6

$u$ 를 모두 $3 x^{2} - 4 x + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{10} {(3 x^{2} - 4 x + 2)}^{5} + C$