미적분 예제

$y = {(\sqrt{x})}^{x}$

단계 1

$y = f (x)$ 로 두고, 양변 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 에 자연 로그를 취합니다.

$\ln (y) = \ln ({(\sqrt{x})}^{x})$

단계 2

왼편을 확장합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\ln (y) = \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$

단계 2.2

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$ 을 전개합니다.

$\ln (y) = x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

단계 2.3

$\frac{1}{2}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ 을 전개합니다.

$\ln (y) = x (\frac{1}{2} \ln (x))$

단계 2.4

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\ln (y) = \frac{x}{2} \ln (x)$

단계 2.5

$\frac{x}{2}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\ln (y) = \frac{x \ln (x)}{2}$

단계 3

연쇄 법칙을 사용하여 식을 미분합니다. $y$ 이 $x$ 의 함수라는 점에 유의하십시오.

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단계 3.1

연쇄 법칙을 사용해 좌측 변 $\ln (y)$ 을 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \ln (x)}{2}$

단계 3.2

우측 변을 미분합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{x \ln (x)}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

단계 3.2.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x \ln (x)}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

단계 3.2.3

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2.4

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2.5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.5.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2.5.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2.5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

단계 3.2.5.4

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x))$

단계 3.2.6

간단히 합니다.

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단계 3.2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \ln (x)$

단계 3.2.6.2

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln (x)$

단계 3.2.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}$

단계 3.2.6.4

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

단계 4

$y'$ 을 분리하고 우변의 $y$ 에 원래 함수를 대입합니다.

$y' = (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

단계 5

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$\frac{\ln (x)}{2}$ 을 $\frac{1}{2} \ln (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = (\frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

단계 5.1.2

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{1}{2} {\sqrt{x}}^{x}$

단계 5.3

$\frac{1}{2}$ 와 ${\sqrt{x}}^{x}$ 을 묶습니다.

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$

단계 5.4

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = {\sqrt{x}}^{x} \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$