미적분 예제

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y - x y$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y - x y$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y - x y$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

단계 1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

단계 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

단계 1.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1.1

$- x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x^{2}}$

단계 1.1.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x \cdot x}$

단계 1.1.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x \cdot x}$

단계 1.1.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- 1 y}{x}$

단계 1.1.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x}$

단계 1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{y}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{x}$

단계 1.2.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$\frac{y}{x}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x \cdot x}$

단계 1.2.2.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1} x}$

단계 1.2.2.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1} x^{1}}$

단계 1.2.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1 + 1}}$

단계 1.2.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{2}}$

단계 1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - y x}{x^{2}}$

단계 1.2.4

$y - y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} - y x}{x^{2}}$

단계 1.2.4.2

$y^{1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 - y x}{x^{2}}$

단계 1.2.4.3

$- y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y (- x)}{x^{2}}$

단계 1.2.4.4

$y \cdot 1 + y (- x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (1 - x)}{x^{2}}$

단계 1.2.4.5

$y$ 에 $1 - x$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - x)}{x^{2}}$

단계 1.3

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 - x}{x^{2}}$

단계 1.4

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 - x}{x^{2}})$

단계 1.5

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 - x}{x^{2}})$

단계 1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - x}{x^{2}}$

단계 1.6

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 2.3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 2.3.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) x^{- 2} d x$

단계 2.3.2

$(1 - x) x^{- 2}$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$x^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

단계 2.3.3.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- 2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$x^{- 2}$ 를 옮깁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{- 2} x) d x$

단계 2.3.3.2.2

$x^{- 2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{- 2} x^{1}) d x$

단계 2.3.3.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 2 + 1} d x$

단계 2.3.3.2.3

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} d x$

단계 2.3.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int - x^{- 1} d x$

단계 2.3.5

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int - x^{- 1} d x$

단계 2.3.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - \int x^{- 1} d x$

단계 2.3.7

$x^{- 1}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - (\ln (| x |) + C_{3})$

단계 2.3.8

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} - \ln (| x |) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} - \ln (| x |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = - \frac{1}{x} + C$

단계 3.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| y | | x |) = - \frac{1}{x} + C$

단계 3.3

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\ln (| y x |) = - \frac{1}{x} + C$

단계 3.4

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

단계 3.5

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y x |) = - \frac{1}{x} + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y x |$

단계 3.6

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$| y x | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y x | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

단계 3.6.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

단계 3.6.3

$y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.1

$y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

단계 3.6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

단계 3.6.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

단계 3.6.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.3.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $C$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + \frac{C x}{x}}}{x}$

단계 3.6.3.3.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{- 1 + C x}{x}}}{x}$