기초 수학 예제

$\frac{a}{a^{2} + 10 a + 25} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 1.1.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{a}{a^{2} + 10 a + 5^{2}} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

단계 1.1.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$10 a = 2 \cdot a \cdot 5$

단계 1.1.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{a}{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^{2}} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

단계 1.1.4

$a = a$ 이고 $b = 5$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

단계 1.2

AC 방법을 이용하여 $a^{2} + 6 a + 5$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $5$ 이고 합은 $6$ 입니다.

$1, 5$

단계 1.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{a}{{(a + 5)}^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{a + 1}{a + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{a + 5}{a + 5}$ 을 곱합니다.

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{a + 5}$

단계 4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(a + 1) {(a + 5)}^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}}$ 에 $\frac{a + 1}{a + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{a + 5}$

단계 4.2

$\frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$ 에 $\frac{a + 5}{a + 5}$ 을 곱합니다.

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) (a + 5) (a + 5)}$

단계 4.3

$a + 5$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) ({(a + 5)}^{1} (a + 5))}$

단계 4.4

$a + 5$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) ({(a + 5)}^{1} {(a + 5)}^{1})}$

단계 4.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) {(a + 5)}^{1 + 1}}$

단계 4.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) {(a + 5)}^{2}}$

단계 4.7

$(a + 1) {(a + 5)}^{2}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{a (a + 1) - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 1 - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.2

$a$ 에 $a$ 을 곱합니다.

$\frac{a^{2} + a \cdot 1 - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.3

$a$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{a^{2} + a - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{a^{2} + a + (- 1 \cdot 4 - - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.5

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{a^{2} + a + (- 4 - - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.6

$- - a$ 을 곱합니다.

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단계 6.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{a^{2} + a + (- 4 + 1 a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.6.2

$a$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{a^{2} + a + (- 4 + a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.7

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 4 + a) (a + 5)$ 를 전개합니다.

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단계 6.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{a^{2} + a - 4 (a + 5) + a (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 4 \cdot 5 + a (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 4 \cdot 5 + a \cdot a + a \cdot 5}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.8

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.8.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.8.1.1

$- 4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 20 + a \cdot a + a \cdot 5}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.8.1.2

$a$ 에 $a$ 을 곱합니다.

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 20 + a^{2} + a \cdot 5}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.8.1.3

$a$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 20 + a^{2} + 5 a}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.8.2

$- 4 a$ 를 $5 a$ 에 더합니다.

$\frac{a^{2} + a + a - 20 + a^{2}}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.9

$a^{2}$ 를 $a^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2 a^{2} + a + a - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.10

$a$ 를 $a$ 에 더합니다.

$\frac{2 a^{2} + 2 a - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.11

$2 a^{2} + 2 a - 20$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.11.1

$2 a^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (a^{2}) + 2 a - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.11.2

$2 a$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (a^{2}) + 2 (a) - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.11.3

$- 20$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (a^{2}) + 2 a + 2 \cdot - 10}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.11.4

$2 (a^{2}) + 2 a$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (a^{2} + a) + 2 \cdot - 10}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

단계 6.11.5

$2 (a^{2} + a) + 2 \cdot - 10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (a^{2} + a - 10)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$