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기초 수학 예제
2n+2-n2=1+4n2n+12n+2−n2=1+4n2n+1
단계 1
방정식의 양변에 로그를 취합니다.
ln(2n+2-n2)=ln(1+4n2n+1)
단계 2
ln(2n+2-n2)을 ln(2n+2-n)-ln(2)로 바꿔 씁니다.
ln(2n+2-n)-ln(2)=ln(1+4n2n+1)
단계 3
ln(1+4n2n+1)을 ln(1+4n)-ln(2n+1)로 바꿔 씁니다.
ln(2n+2-n)-ln(2)=ln(1+4n)-ln(2n+1)
단계 4
단계 4.1
로그의 나눗셈의 성질 logb(x)-logb(y)=logb(xy) 을 이용합니다.
ln(2n+2-n2)=ln(1+4n)-ln(2n+1)
단계 4.2
로그의 나눗셈의 성질 logb(x)-logb(y)=logb(xy) 을 이용합니다.
ln(2n+2-n2)=ln(1+4n2n+1)
단계 4.3
n 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.
단계 4.3.1
방정식의 양변에서 ln(1+4n2n+1)를 뺍니다.
ln(2n+2-n2)-ln(1+4n2n+1)=0
단계 4.3.2
로그의 나눗셈의 성질 logb(x)-logb(y)=logb(xy) 을 이용합니다.
ln(2n+2-n21+4n2n+1)=0
단계 4.3.3
분자에 분모의 역수를 곱합니다.
ln(2n+2-n2⋅2n+11+4n)=0
단계 4.3.4
2n+2-n2에 2n+11+4n을 곱합니다.
ln((2n+2-n)(2n+1)2(1+4n))=0
ln((2n+2-n)(2n+1)2(1+4n))=0
단계 4.4
로그의 정의를 이용하여 ln((2n+2-n)(2n+1)2(1+4n))=0을 지수 형태로 바꿔 씁니다. 만약 x와 b가 양의 실수이고 b≠1이면 logb(x)=y는 by=x와 같습니다.
e0=(2n+2-n)(2n+1)2(1+4n)
단계 4.5
교차 곱하기를 이용하여 분수를 없앱니다.
(2n+2-n)(2n+1)=e0(2(1+4n))
단계 4.6
e0(2(1+4n))을 간단히 합니다.
단계 4.6.1
식을 간단히 합니다.
단계 4.6.1.1
모든 수의 0승은 1입니다.
(2n+2-n)(2n+1)=1(2(1+4n))
단계 4.6.1.2
2(1+4n)에 1을 곱합니다.
(2n+2-n)(2n+1)=2(1+4n)
(2n+2-n)(2n+1)=2(1+4n)
단계 4.6.2
분배 법칙을 적용합니다.
(2n+2-n)(2n+1)=2⋅1+2⋅4n
단계 4.6.3
2에 1을 곱합니다.
(2n+2-n)(2n+1)=2+2⋅4n
단계 4.6.4
2⋅4n 을 곱합니다.
단계 4.6.4.1
4을 22로 바꿔 씁니다.
(2n+2-n)(2n+1)=2+2⋅(22)n
단계 4.6.4.2
멱의 법칙을 적용하여 (am)n=amn과 같이 지수를 곱합니다.
(2n+2-n)(2n+1)=2+2⋅22n
단계 4.6.4.3
지수 법칙 aman=am+n 을 이용하여 지수를 합칩니다.
(2n+2-n)(2n+1)=2+21+2n
(2n+2-n)(2n+1)=2+21+2n
(2n+2-n)(2n+1)=2+21+2n
단계 4.7
n 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.
단계 4.7.1
방정식의 양변에서 21+2n를 뺍니다.
(2n+2-n)(2n+1)-21+2n=2
단계 4.7.2
각 항을 간단히 합니다.
단계 4.7.2.1
FOIL 계산법을 이용하여 (2n+2-n)(2n+1) 를 전개합니다.
단계 4.7.2.1.1
분배 법칙을 적용합니다.
2n(2n+1)+2-n(2n+1)-21+2n=2
단계 4.7.2.1.2
분배 법칙을 적용합니다.
2n⋅2n+2n⋅1+2-n(2n+1)-21+2n=2
단계 4.7.2.1.3
분배 법칙을 적용합니다.
2n⋅2n+2n⋅1+2-n⋅2n+2-n⋅1-21+2n=2
2n⋅2n+2n⋅1+2-n⋅2n+2-n⋅1-21+2n=2
단계 4.7.2.2
각 항을 간단히 합니다.
단계 4.7.2.2.1
지수를 더하여 2n에 2n을 곱합니다.
단계 4.7.2.2.1.1
지수 법칙 aman=am+n 을 이용하여 지수를 합칩니다.
2n+n+2n⋅1+2-n⋅2n+2-n⋅1-21+2n=2
단계 4.7.2.2.1.2
n를 n에 더합니다.
22n+2n⋅1+2-n⋅2n+2-n⋅1-21+2n=2
22n+2n⋅1+2-n⋅2n+2-n⋅1-21+2n=2
단계 4.7.2.2.2
2n에 1을 곱합니다.
22n+2n+2-n⋅2n+2-n⋅1-21+2n=2
단계 4.7.2.2.3
지수를 더하여 2-n에 2n을 곱합니다.
단계 4.7.2.2.3.1
지수 법칙 aman=am+n 을 이용하여 지수를 합칩니다.
22n+2n+2-n+n+2-n⋅1-21+2n=2
단계 4.7.2.2.3.2
-n를 n에 더합니다.
22n+2n+20+2-n⋅1-21+2n=2
22n+2n+20+2-n⋅1-21+2n=2
단계 4.7.2.2.4
20을 간단히 합니다.
22n+2n+1+2-n⋅1-21+2n=2
단계 4.7.2.2.5
2-n에 1을 곱합니다.
22n+2n+1+2-n-21+2n=2
22n+2n+1+2-n-21+2n=2
22n+2n+1+2-n-21+2n=2
22n+2n+1+2-n-21+2n=2
단계 4.8
n 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.
단계 4.8.1
방정식의 양변에서 1를 뺍니다.
22n+2n+2-n-21+2n=2-1
단계 4.8.2
2에서 1을 뺍니다.
22n+2n+2-n-21+2n=1
22n+2n+2-n-21+2n=1
단계 4.9
21+2n을 21⋅22n로 바꿔 씁니다.
22n+2n+2-n-(2⋅22n)=1
단계 4.10
22n을 지수 형태로 바꿔 씁니다.
(2n)2+2n+2-n-(2⋅22n)=1
단계 4.11
2-n을 지수 형태로 바꿔 씁니다.
(2n)2+2n+(2n)-1-(2⋅22n)=1
단계 4.12
22n을 지수 형태로 바꿔 씁니다.
(2n)2+2n+(2n)-1-(2⋅(2n)2)=1
단계 4.13
괄호를 제거합니다.
(2n)2+2n+(2n)-1-2(2n)2=1
단계 4.14
2n에 u를 대입합니다.
u2+u+u-1-2u2=1
단계 4.15
각 항을 간단히 합니다.
단계 4.15.1
음의 지수 법칙 b-n=1bn을 활용하여 식을 다시 씁니다.
u2+u+1u-2u2=1
단계 4.15.2
지수값을 계산합니다.
u2+u+1u-1⋅(2u2)=1
단계 4.15.3
-1에 2을 곱합니다.
u2+u+1u-2u2=1
u2+u+1u-2u2=1
단계 4.16
u2에서 2u2을 뺍니다.
-u2+u+1u=1
단계 4.17
u에 대해 풉니다.
단계 4.17.1
방정식 항의 최소공분모를 구합니다.
단계 4.17.1.1
여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.
1,1,u,1
단계 4.17.1.2
1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.
u
u
단계 4.17.2
-u2+u+1u=1의 각 항에 u을 곱하고 분수를 소거합니다.
단계 4.17.2.1
-u2+u+1u=1의 각 항에 u을 곱합니다.
-u2u+u⋅u+1uu=1u
단계 4.17.2.2
좌변을 간단히 합니다.
단계 4.17.2.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 4.17.2.2.1.1
지수를 더하여 u2에 u을 곱합니다.
단계 4.17.2.2.1.1.1
u를 옮깁니다.
-(u⋅u2)+u⋅u+1uu=1u
단계 4.17.2.2.1.1.2
u에 u2을 곱합니다.
단계 4.17.2.2.1.1.2.1
u를 1승 합니다.
-(u1u2)+u⋅u+1uu=1u
단계 4.17.2.2.1.1.2.2
지수 법칙 aman=am+n 을 이용하여 지수를 합칩니다.
-u1+2+u⋅u+1uu=1u
-u1+2+u⋅u+1uu=1u
단계 4.17.2.2.1.1.3
1를 2에 더합니다.
-u3+u⋅u+1uu=1u
-u3+u⋅u+1uu=1u
단계 4.17.2.2.1.2
u에 u을 곱합니다.
-u3+u2+1uu=1u
단계 4.17.2.2.1.3
u의 공약수로 약분합니다.
단계 4.17.2.2.1.3.1
공약수로 약분합니다.
-u3+u2+1uu=1u
단계 4.17.2.2.1.3.2
수식을 다시 씁니다.
-u3+u2+1=1u
-u3+u2+1=1u
-u3+u2+1=1u
-u3+u2+1=1u
단계 4.17.2.3
우변을 간단히 합니다.
단계 4.17.2.3.1
u에 1을 곱합니다.
-u3+u2+1=u
-u3+u2+1=u
-u3+u2+1=u
단계 4.17.3
식을 풉니다.
단계 4.17.3.1
방정식의 양변에서 u를 뺍니다.
-u3+u2+1-u=0
단계 4.17.3.2
방정식의 좌변을 인수분해합니다.
단계 4.17.3.2.1
항을 다시 정렬합니다.
-u3+u2-u+1=0
단계 4.17.3.2.2
각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.
단계 4.17.3.2.2.1
처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.
(-u3+u2)-u+1=0
단계 4.17.3.2.2.2
각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.
u2(-u+1)+1(-u+1)=0
u2(-u+1)+1(-u+1)=0
단계 4.17.3.2.3
최대공약수 -u+1을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.
(-u+1)(u2+1)=0
(-u+1)(u2+1)=0
단계 4.17.3.3
방정식 좌변의 한 인수가 0 이면 전체 식은 0 이 됩니다.
-u+1=0
u2+1=0
단계 4.17.3.4
-u+1 이 0 가 되도록 하고 u 에 대해 식을 풉니다.
단계 4.17.3.4.1
-u+1를 0와 같다고 둡니다.
-u+1=0
단계 4.17.3.4.2
-u+1=0을 u에 대해 풉니다.
단계 4.17.3.4.2.1
방정식의 양변에서 1를 뺍니다.
-u=-1
단계 4.17.3.4.2.2
-u=-1의 각 항을 -1로 나누고 식을 간단히 합니다.
단계 4.17.3.4.2.2.1
-u=-1의 각 항을 -1로 나눕니다.
-u-1=-1-1
단계 4.17.3.4.2.2.2
좌변을 간단히 합니다.
단계 4.17.3.4.2.2.2.1
두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.
u1=-1-1
단계 4.17.3.4.2.2.2.2
u을 1로 나눕니다.
u=-1-1
u=-1-1
단계 4.17.3.4.2.2.3
우변을 간단히 합니다.
단계 4.17.3.4.2.2.3.1
-1을 -1로 나눕니다.
u=1
u=1
u=1
u=1
u=1
단계 4.17.3.5
u2+1 이 0 가 되도록 하고 u 에 대해 식을 풉니다.
단계 4.17.3.5.1
u2+1를 0와 같다고 둡니다.
u2+1=0
단계 4.17.3.5.2
u2+1=0을 u에 대해 풉니다.
단계 4.17.3.5.2.1
방정식의 양변에서 1를 뺍니다.
u2=-1
단계 4.17.3.5.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
u=±√-1
단계 4.17.3.5.2.3
√-1을 i로 바꿔 씁니다.
u=±i
단계 4.17.3.5.2.4
해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.
단계 4.17.3.5.2.4.1
먼저, ±의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.
u=i
단계 4.17.3.5.2.4.2
그 다음 ±의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.
u=-i
단계 4.17.3.5.2.4.3
해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.
u=i,-i
u=i,-i
u=i,-i
u=i,-i
단계 4.17.3.6
(-u+1)(u2+1)=0을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.
u=1,i,-i
u=1,i,-i
u=1,i,-i
단계 4.18
u=2n 의 u 에 1 를 대입합니다.
1=2n
단계 4.19
1=2n을 풉니다.
단계 4.19.1
2n=1 로 방정식을 다시 씁니다.
2n=1
단계 4.19.2
지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.
ln(2n)=ln(1)
단계 4.19.3
n 을 로그 밖으로 내보내서 ln(2n) 을 전개합니다.
nln(2)=ln(1)
단계 4.19.4
우변을 간단히 합니다.
단계 4.19.4.1
1의 자연로그값은 0입니다.
nln(2)=0
nln(2)=0
단계 4.19.5
nln(2)=0의 각 항을 ln(2)로 나누고 식을 간단히 합니다.
단계 4.19.5.1
nln(2)=0의 각 항을 ln(2)로 나눕니다.
nln(2)ln(2)=0ln(2)
단계 4.19.5.2
좌변을 간단히 합니다.
단계 4.19.5.2.1
ln(2)의 공약수로 약분합니다.
단계 4.19.5.2.1.1
공약수로 약분합니다.
nln(2)ln(2)=0ln(2)
단계 4.19.5.2.1.2
n을 1로 나눕니다.
n=0ln(2)
n=0ln(2)
n=0ln(2)
단계 4.19.5.3
우변을 간단히 합니다.
단계 4.19.5.3.1
0을 ln(2)로 나눕니다.
n=0
n=0
n=0
n=0
단계 4.20
u=2n 의 u 에 i 를 대입합니다.
i=2n
단계 4.21
i=2n을 풉니다.
단계 4.21.1
2n=i 로 방정식을 다시 씁니다.
2n=i
단계 4.21.2
지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.
ln(2n)=ln(i)
단계 4.21.3
n 을 로그 밖으로 내보내서 ln(2n) 을 전개합니다.
nln(2)=ln(i)
단계 4.21.4
nln(2)=ln(i)의 각 항을 ln(2)로 나누고 식을 간단히 합니다.
단계 4.21.4.1
nln(2)=ln(i)의 각 항을 ln(2)로 나눕니다.
nln(2)ln(2)=ln(i)ln(2)
단계 4.21.4.2
좌변을 간단히 합니다.
단계 4.21.4.2.1
ln(2)의 공약수로 약분합니다.
단계 4.21.4.2.1.1
공약수로 약분합니다.
nln(2)ln(2)=ln(i)ln(2)
단계 4.21.4.2.1.2
n을 1로 나눕니다.
n=ln(i)ln(2)
n=ln(i)ln(2)
n=ln(i)ln(2)
n=ln(i)ln(2)
n=ln(i)ln(2)
단계 4.22
u=2n 의 u 에 -i 를 대입합니다.
-i=2n
단계 4.23
-i=2n을 풉니다.
단계 4.23.1
2n=-i 로 방정식을 다시 씁니다.
2n=-i
단계 4.23.2
지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.
ln(2n)=ln(-i)
단계 4.23.3
ln(-i)이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.
정의되지 않음
단계 4.23.4
2n=-i에 대한 해가 없습니다.
해 없음
해 없음
단계 4.24
방정식이 참이 되게 하는 해를 나열합니다.
n=0,ln(i)ln(2)
n=0,ln(i)ln(2)