기초 수학 예제

$\frac{z}{z - 5} + \frac{5}{z + 5} = \frac{50}{z^{2} - 25}$

단계 1

각 항을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{z}{z - 5} + \frac{5}{z + 5} = \frac{50}{z^{2} - 5^{2}}$

단계 1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = z$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$\frac{z}{z - 5} + \frac{5}{z + 5} = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)}$

단계 2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$z - 5, z + 5, (z + 5) (z - 5)$

단계 2.2

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 2.3

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 2.4

$1, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1$

단계 2.5

$z - 5$ 의 인수는 $z - 5$ 자신입니다.

$(z - 5) = z - 5$

$(z - 5)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.6

$z + 5$ 의 인수는 $z + 5$ 자신입니다.

$(z + 5) = z + 5$

$(z + 5)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.7

$z - 5$ 의 인수는 $z - 5$ 자신입니다.

$(z - 5) = z - 5$

$(z - 5)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.8

$z - 5, z + 5, z + 5, z - 5$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 인수의 최대 개수만큼 모든 인수를 곱한 결과입니다.

$(z - 5) (z + 5)$

단계 3

$\frac{z}{z - 5} + \frac{5}{z + 5} = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)}$ 의 각 항에 $(z - 5) (z + 5)$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{z}{z - 5} + \frac{5}{z + 5} = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)}$ 의 각 항에 $(z - 5) (z + 5)$ 을 곱합니다.

$\frac{z}{z - 5} ((z - 5) (z + 5)) + \frac{5}{z + 5} ((z - 5) (z + 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$z - 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{z}{z - 5} ((z - 5) (z + 5)) + \frac{5}{z + 5} ((z - 5) (z + 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

단계 3.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$z (z + 5) + \frac{5}{z + 5} ((z - 5) (z + 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

단계 3.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$z \cdot z + z \cdot 5 + \frac{5}{z + 5} ((z - 5) (z + 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

단계 3.2.1.3

$z$ 에 $z$ 을 곱합니다.

$z^{2} + z \cdot 5 + \frac{5}{z + 5} ((z - 5) (z + 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

단계 3.2.1.4

$z$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$z^{2} + 5 \cdot z + \frac{5}{z + 5} ((z - 5) (z + 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

단계 3.2.1.5

$z + 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.5.1

$(z - 5) (z + 5)$ 에서 $z + 5$ 를 인수분해합니다.

$z^{2} + 5 z + \frac{5}{z + 5} ((z + 5) (z - 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

단계 3.2.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$z^{2} + 5 z + \frac{5}{z + 5} ((z + 5) (z - 5)) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

단계 3.2.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$z^{2} + 5 z + 5 (z - 5) = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

단계 3.2.1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$z^{2} + 5 z + 5 z + 5 \cdot - 5 = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

단계 3.2.1.7

$5$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$z^{2} + 5 z + 5 z - 25 = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

단계 3.2.2

$5 z$ 를 $5 z$ 에 더합니다.

$z^{2} + 10 z - 25 = \frac{50}{(z + 5) (z - 5)} ((z - 5) (z + 5))$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$(z - 5) (z + 5)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$(z + 5) (z - 5)$ 에서 $(z - 5) (z + 5)$ 를 인수분해합니다.

$z^{2} + 10 z - 25 = \frac{50}{(z - 5) (z + 5) (1)} ((z - 5) (z + 5))$

단계 3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$z^{2} + 10 z - 25 = \frac{50}{(z - 5) (z + 5) \cdot 1} ((z - 5) (z + 5))$

단계 3.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$z^{2} + 10 z - 25 = 50$

단계 4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

방정식의 양변에서 $50$ 를 뺍니다.

$z^{2} + 10 z - 25 - 50 = 0$

단계 4.2

$- 25$ 에서 $50$ 을 뺍니다.

$z^{2} + 10 z - 75 = 0$

단계 4.3

AC 방법을 이용하여 $z^{2} + 10 z - 75$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 75$ 이고 합은 $10$ 입니다.

$- 5, 15$

단계 4.3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(z - 5) (z + 15) = 0$

단계 4.4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$z - 5 = 0$

$z + 15 = 0$

단계 4.5

$z - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $z$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$z - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$z - 5 = 0$

단계 4.5.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$z = 5$

단계 4.6

$z + 15$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $z$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$z + 15$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$z + 15 = 0$

단계 4.6.2

방정식의 양변에서 $15$ 를 뺍니다.

$z = - 15$

단계 4.7

$(z - 5) (z + 15) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$z = 5, - 15$

단계 5

$\frac{z}{z - 5} + \frac{5}{z + 5} = \frac{50}{z^{2} - 25}$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$z = - 15$