기초 수학 예제

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{a^{2} - 25} = 1$

단계 1

각 항을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{a^{2} - 5^{2}} = 1$

단계 1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = a$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$

단계 2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$

단계 2.2

Since $a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

$a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$ 의 최소공배수를 구하는 단계:

1. 숫자 부분 $1, 1, 1$ 의 최소공배수를 구합니다.

2. 변수 부분 $a^{2}$ 의 최소공배수를 구합니다.

3. 혼합 변수 부분 $a + 5, a - 5$ 의 최소공배수를 구합니다.

4. 각각의 최소공배수를 함께 곱합니다.

단계 2.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 2.4

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 2.5

$1, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1$

단계 2.6

$a^{2}$ 의 인수는 $a \cdot a$ 이며 $a$ 를 $2$ 번 곱한 값입니다.

$a^{2} = a \cdot a$

$a$ 는 $2$ 번 나타납니다.

단계 2.7

$a^{2}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$a \cdot a$

단계 2.8

$a$ 에 $a$ 을 곱합니다.

$a^{2}$

단계 2.9

$a + 5$ 의 인수는 $a + 5$ 자신입니다.

$(a + 5) = a + 5$

$(a + 5)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.10

$a - 5$ 의 인수는 $a - 5$ 자신입니다.

$(a - 5) = a - 5$

$(a - 5)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.11

$a + 5, a - 5$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 인수의 최대 개수만큼 모든 인수를 곱한 결과입니다.

$(a + 5) (a - 5)$

단계 2.12

임의의 숫자 $LCM$ 의 최소공배수는 해당 숫자가 인수인 가장 작은 숫자입니다.

$a^{2} (a + 5) (a - 5)$

단계 3

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$ 의 각 항에 $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$ 의 각 항에 $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$a^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$a^{2} (a + 5) (a - 5)$ 에서 $a^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} ((a + 5) (a - 5))) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

단계 3.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} ((a + 5) (a - 5))) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

단계 3.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$9 ((a + 5) (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

단계 3.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(a + 5) (a - 5)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$9 (a (a - 5) + 5 (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

단계 3.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$9 (a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

단계 3.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$9 (a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

단계 3.2.1.3

$a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 a + 5 \cdot - 5$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.3.1

인수가 항 $a \cdot - 5$ 과(와) $5 a$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$9 (a \cdot a - 5 a + 5 a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

단계 3.2.1.3.2

$- 5 a$ 를 $5 a$ 에 더합니다.

$9 (a \cdot a + 0 + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

단계 3.2.1.3.3

$a \cdot a$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 (a \cdot a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

단계 3.2.1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.4.1

$a$ 에 $a$ 을 곱합니다.

$9 (a^{2} + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

단계 3.2.1.4.2

$5$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$9 (a^{2} - 25) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

단계 3.2.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$9 a^{2} + 9 \cdot - 25 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

단계 3.2.1.6

$9$ 에 $- 25$ 을 곱합니다.

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

단계 3.2.1.7

$(a + 5) (a - 5)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.7.1

$a^{2} (a + 5) (a - 5)$ 에서 $(a + 5) (a - 5)$ 를 인수분해합니다.

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} ((a + 5) (a - 5) (a^{2})) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

단계 3.2.1.7.2

공약수로 약분합니다.

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} ((a + 5) (a - 5) a^{2}) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

단계 3.2.1.7.3

수식을 다시 씁니다.

$9 a^{2} - 225 + 16 a^{2} = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

단계 3.2.2

$9 a^{2}$ 를 $16 a^{2}$ 에 더합니다.

$25 a^{2} - 225 = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$a^{2} (a + 5) (a - 5)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$25 a^{2} - 225 = a^{2} (a + 5) (a - 5)$

단계 3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$25 a^{2} - 225 = (a^{2} a + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

단계 3.3.3

지수를 더하여 $a^{2}$ 에 $a$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$a^{2}$ 에 $a$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

$a$ 를 $1$ 승 합니다.

$25 a^{2} - 225 = (a^{2} a^{1} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

단계 3.3.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$25 a^{2} - 225 = (a^{2 + 1} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

단계 3.3.3.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$25 a^{2} - 225 = (a^{3} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

단계 3.3.4

$a^{2}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$25 a^{2} - 225 = (a^{3} + 5 \cdot a^{2}) (a - 5)$

단계 3.3.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(a^{3} + 5 a^{2}) (a - 5)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} (a - 5) + 5 a^{2} (a - 5)$

단계 3.3.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} (a - 5)$

단계 3.3.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

단계 3.3.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1.1

지수를 더하여 $a^{3}$ 에 $a$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1.1.1

$a^{3}$ 에 $a$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1.1.1.1

$a$ 를 $1$ 승 합니다.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a^{1} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

단계 3.3.6.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$25 a^{2} - 225 = a^{3 + 1} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

단계 3.3.6.1.1.2

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$25 a^{2} - 225 = a^{4} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

단계 3.3.6.1.2

$a^{3}$ 의 왼쪽으로 $- 5$ 이동하기

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 \cdot a^{3} + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

단계 3.3.6.1.3

지수를 더하여 $a^{2}$ 에 $a$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1.3.1

$a$ 를 옮깁니다.

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 (a \cdot a^{2}) + 5 a^{2} \cdot - 5$

단계 3.3.6.1.3.2

$a$ 에 $a^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1.3.2.1

$a$ 를 $1$ 승 합니다.

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 (a^{1} a^{2}) + 5 a^{2} \cdot - 5$

단계 3.3.6.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{1 + 2} + 5 a^{2} \cdot - 5$

단계 3.3.6.1.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{3} + 5 a^{2} \cdot - 5$

단계 3.3.6.1.4

$- 5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{3} - 25 a^{2}$

단계 3.3.6.2

$- 5 a^{3}$ 를 $5 a^{3}$ 에 더합니다.

$25 a^{2} - 225 = a^{4} + 0 - 25 a^{2}$

단계 3.3.6.3

$a^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 25 a^{2}$

단계 4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$a$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$a^{4} - 25 a^{2} = 25 a^{2} - 225$

단계 4.2

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

방정식의 양변에서 $25 a^{2}$ 를 뺍니다.

$a^{4} - 25 a^{2} - 25 a^{2} = - 225$

단계 4.2.2

방정식의 양변에 $225$ 를 더합니다.

$a^{4} - 25 a^{2} - 25 a^{2} + 225 = 0$

단계 4.3

$- 25 a^{2}$ 에서 $25 a^{2}$ 을 뺍니다.

$a^{4} - 50 a^{2} + 225 = 0$

단계 4.4

방정식에 $u = a^{2}$ 를 대입합니다. 이렇게 하면 근의 공식을 쉽게 사용할 수 있습니다.

$u^{2} - 50 u + 225 = 0$

$u = a^{2}$

단계 4.5

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 50 u + 225$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $225$ 이고 합은 $- 50$ 입니다.

$- 45, - 5$

단계 4.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 45) (u - 5) = 0$

단계 4.6

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$u - 45 = 0$

$u - 5 = 0$

단계 4.7

$u - 45$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

$u - 45$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 45 = 0$

단계 4.7.2

방정식의 양변에 $45$ 를 더합니다.

$u = 45$

단계 4.8

$u - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.1

$u - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 5 = 0$

단계 4.8.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$u = 5$

단계 4.9

$(u - 45) (u - 5) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = 45, 5$

단계 4.10

풀어진 방정식에 $u = a^{2}$ 에 해당하는 값을 대입합니다.

$a^{2} = 45$

${(a^{2})}^{1} = 5$

단계 4.11

첫 번째 방정식을 $a$ 에 대해 풉니다.

$a^{2} = 45$

단계 4.12

$a$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{45}$

단계 4.12.2

$\pm \sqrt{45}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.2.1

$45$ 을 $3^{2} \cdot 5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.2.1.1

$45$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$a = \pm \sqrt{9 (5)}$

단계 4.12.2.1.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$a = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

단계 4.12.2.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$a = \pm 3 \sqrt{5}$

단계 4.12.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$a = 3 \sqrt{5}$

단계 4.12.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$a = - 3 \sqrt{5}$

단계 4.12.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}$

단계 4.13

두 번째 방정식을 $a$ 에 대해 풉니다.

${(a^{2})}^{1} = 5$

단계 4.14

$a$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.14.1

괄호를 제거합니다.

$a^{2} = 5$

단계 4.14.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{5}$

단계 4.14.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.14.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$a = \sqrt{5}$

단계 4.14.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$a = - \sqrt{5}$

단계 4.14.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$a = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

단계 4.15

$a^{4} - 50 a^{2} + 225 = 0$ 의 해는 $a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ 입니다.

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

소수 형태:

$a = 6.70820393 \dots, - 6.70820393 \dots, 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots$