기초 수학 예제

$\frac{n}{n - 1} - \frac{4}{n + 1} = \frac{2}{n^{2} - 1}$

단계 1

각 항을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{n}{n - 1} - \frac{4}{n + 1} = \frac{2}{n^{2} - 1^{2}}$

단계 1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = n$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{n}{n - 1} - \frac{4}{n + 1} = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)}$

단계 2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$n - 1, n + 1, (n + 1) (n - 1)$

단계 2.2

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 2.3

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 2.4

$1, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1$

단계 2.5

$n - 1$ 의 인수는 $n - 1$ 자신입니다.

$(n - 1) = n - 1$

$(n - 1)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.6

$n + 1$ 의 인수는 $n + 1$ 자신입니다.

$(n + 1) = n + 1$

$(n + 1)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.7

$n - 1$ 의 인수는 $n - 1$ 자신입니다.

$(n - 1) = n - 1$

$(n - 1)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.8

$n - 1, n + 1, n + 1, n - 1$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 인수의 최대 개수만큼 모든 인수를 곱한 결과입니다.

$(n - 1) (n + 1)$

단계 3

$\frac{n}{n - 1} - \frac{4}{n + 1} = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)}$ 의 각 항에 $(n - 1) (n + 1)$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{n}{n - 1} - \frac{4}{n + 1} = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)}$ 의 각 항에 $(n - 1) (n + 1)$ 을 곱합니다.

$\frac{n}{n - 1} ((n - 1) (n + 1)) - \frac{4}{n + 1} ((n - 1) (n + 1)) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$n - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{n}{n - 1} ((n - 1) (n + 1)) - \frac{4}{n + 1} ((n - 1) (n + 1)) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

단계 3.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$n (n + 1) - \frac{4}{n + 1} ((n - 1) (n + 1)) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

단계 3.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$n \cdot n + n \cdot 1 - \frac{4}{n + 1} ((n - 1) (n + 1)) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

단계 3.2.1.3

$n$ 에 $n$ 을 곱합니다.

$n^{2} + n \cdot 1 - \frac{4}{n + 1} ((n - 1) (n + 1)) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

단계 3.2.1.4

$n$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$n^{2} + n - \frac{4}{n + 1} ((n - 1) (n + 1)) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

단계 3.2.1.5

$n + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.5.1

$- \frac{4}{n + 1}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$n^{2} + n + \frac{- 4}{n + 1} ((n - 1) (n + 1)) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

단계 3.2.1.5.2

$(n - 1) (n + 1)$ 에서 $n + 1$ 를 인수분해합니다.

$n^{2} + n + \frac{- 4}{n + 1} ((n + 1) (n - 1)) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

단계 3.2.1.5.3

공약수로 약분합니다.

$n^{2} + n + \frac{- 4}{n + 1} ((n + 1) (n - 1)) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

단계 3.2.1.5.4

수식을 다시 씁니다.

$n^{2} + n - 4 (n - 1) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

단계 3.2.1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$n^{2} + n - 4 n - 4 \cdot - 1 = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

단계 3.2.1.7

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$n^{2} + n - 4 n + 4 = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

단계 3.2.2

$n$ 에서 $4 n$ 을 뺍니다.

$n^{2} - 3 n + 4 = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$(n - 1) (n + 1)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$(n + 1) (n - 1)$ 에서 $(n - 1) (n + 1)$ 를 인수분해합니다.

$n^{2} - 3 n + 4 = \frac{2}{(n - 1) (n + 1) (1)} ((n - 1) (n + 1))$

단계 3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$n^{2} - 3 n + 4 = \frac{2}{(n - 1) (n + 1) \cdot 1} ((n - 1) (n + 1))$

단계 3.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$n^{2} - 3 n + 4 = 2$

단계 4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$n^{2} - 3 n + 4 - 2 = 0$

단계 4.2

$4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$n^{2} - 3 n + 2 = 0$

단계 4.3

AC 방법을 이용하여 $n^{2} - 3 n + 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $2$ 이고 합은 $- 3$ 입니다.

$- 2, - 1$

단계 4.3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(n - 2) (n - 1) = 0$

단계 4.4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$n - 2 = 0$

$n - 1 = 0$

단계 4.5

$n - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $n$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$n - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$n - 2 = 0$

단계 4.5.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$n = 2$

단계 4.6

$n - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $n$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$n - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$n - 1 = 0$

단계 4.6.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$n = 1$

단계 4.7

$(n - 2) (n - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$n = 2, 1$

단계 5

$\frac{n}{n - 1} - \frac{4}{n + 1} = \frac{2}{n^{2} - 1}$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$n = 2$