기초 수학 예제

$\frac{10 a + 8 - 3 a^{2}}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

단계 1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 1.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 3 a^{2} + 10 a + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

단계 1.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 3 \cdot 8 = - 24$ 이고 합이 $b = 10$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 1.2.1

$10 a$ 에서 $10$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 3 a^{2} + 10 (a) + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

단계 1.2.2

$10$ 를 $- 2$ + $12$ 로 다시 씁니다.

$\frac{- 3 a^{2} + (- 2 + 12) a + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

단계 1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 3 a^{2} - 2 a + 12 a + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

단계 1.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 1.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(- 3 a^{2} - 2 a) + 12 a + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

단계 1.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{a (- 3 a - 2) - 4 (- 3 a - 2)}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

단계 1.4

최대공약수 $- 3 a - 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

단계 2

AC 방법을 이용하여 $a^{2} - a - 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 12$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 4, 3$

단계 2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

단계 3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1

$9 a^{3} - 81 a$ 에서 $9 a$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.1

$9 a^{3}$ 에서 $9 a$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a^{2}) - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

단계 3.1.2

$- 81 a$ 에서 $9 a$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a^{2}) + 9 a (- 9)}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

단계 3.1.3

$9 a (a^{2}) + 9 a (- 9)$ 에서 $9 a$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a^{2} - 9)}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

단계 3.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a^{2} - 3^{2})}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

단계 3.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = a$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

단계 4

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 4.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ 이고 합이 $b = - 7$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 4.1.1

$- 7 a$ 에서 $- 7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{3 a^{2} - 7 (a) - 6}$

단계 4.1.2

$- 7$ 를 $2$ + $- 9$ 로 다시 씁니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{3 a^{2} + (2 - 9) a - 6}$

단계 4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{3 a^{2} + 2 a - 9 a - 6}$

단계 4.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 4.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{(3 a^{2} + 2 a) - 9 a - 6}$

단계 4.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{a (3 a + 2) - 3 (3 a + 2)}$

단계 4.3

최대공약수 $3 a + 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{(3 a + 2) (a - 3)}$

단계 5

$a + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1

$(a - 4) (a + 3)$ 에서 $a + 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a + 3) (a - 4)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{(3 a + 2) (a - 3)}$

단계 5.2

$9 a (a + 3) (a - 3)$ 에서 $a + 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a + 3) (a - 4)} \cdot \frac{(a + 3) (9 a (a - 3))}{(3 a + 2) (a - 3)}$

단계 5.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a + 3) (a - 4)} \cdot \frac{(a + 3) (9 a (a - 3))}{(3 a + 2) (a - 3)}$

단계 5.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{a - 4} \cdot \frac{9 a (a - 3)}{(3 a + 2) (a - 3)}$

단계 6

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{a - 4}$ 에 $\frac{9 a (a - 3)}{(3 a + 2) (a - 3)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4) (9 a (a - 3))}{(a - 4) ((3 a + 2) (a - 3))}$

단계 7

$a - 4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4) (9 a (a - 3))}{(a - 4) ((3 a + 2) (a - 3))}$

단계 7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (9 a (a - 3))}{(3 a + 2) (a - 3)}$

단계 8

$a - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (9 a (a - 3))}{(3 a + 2) (a - 3)}$

단계 8.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(- 3 a - 2) (9 a)}{3 a + 2}$

단계 9

$- 3 a - 2$ 및 $3 a + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.1

$- 3 a$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- (3 a) - 2) (9 a)}{3 a + 2}$

단계 9.2

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(- (3 a) - 1 (2)) (9 a)}{3 a + 2}$

단계 9.3

$- (3 a) - 1 (2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (3 a + 2) (9 a)}{3 a + 2}$

단계 9.4

$- (3 a + 2)$ 을 $- 1 (3 a + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (3 a + 2) (9 a)}{3 a + 2}$

단계 9.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 (3 a + 2) (9 a)}{3 a + 2}$

단계 9.6

$- 1 (9 a)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1 (9 a)$

단계 10

식을 간단히 합니다.

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단계 10.1

$- 1 (9 a)$ 을 $- (9 a)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (9 a)$

단계 10.2

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 9 a$