기초 수학 예제

$(k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40) \div (k + 10)$

단계 1

유리근 정리르 이용하여 $k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

단계 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

단계 1.3

$- 10$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 10$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 10$ 을 다항식에 대입합니다.

${(- 10)}^{3} + 18 {(- 10)}^{2} + 84 \cdot - 10 + 40$

단계 1.3.2

$- 10$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 1000 + 18 {(- 10)}^{2} + 84 \cdot - 10 + 40$

단계 1.3.3

$- 10$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 1000 + 18 \cdot 100 + 84 \cdot - 10 + 40$

단계 1.3.4

$18$ 에 $100$ 을 곱합니다.

$- 1000 + 1800 + 84 \cdot - 10 + 40$

단계 1.3.5

$- 1000$ 를 $1800$ 에 더합니다.

$800 + 84 \cdot - 10 + 40$

단계 1.3.6

$84$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$800 - 840 + 40$

단계 1.3.7

$800$ 에서 $840$ 을 뺍니다.

$- 40 + 40$

단계 1.3.8

$- 40$ 를 $40$ 에 더합니다.

$0$

단계 1.4

$- 10$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $k + 10$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40}{k + 10}$

단계 1.5

$k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40$ 을 $k + 10$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$k$

$10$

$k^{3}$

$18 k^{2}$

$84 k$

$40$

단계 1.5.2

피제수 $k^{3}$ 의 고차항을 제수 $k$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$k^{2}$
	$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$

단계 1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			+	$k^{3}$	+	$10 k^{2}$

단계 1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $k^{3} + 10 k^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$

단계 1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$

단계 1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$

단계 1.5.7

피제수 $8 k^{2}$ 의 고차항을 제수 $k$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$

단계 1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					+	$8 k^{2}$	+	$80 k$

단계 1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $8 k^{2} + 80 k$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$

단계 1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$

단계 1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$

단계 1.5.12

피제수 $4 k$ 의 고차항을 제수 $k$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$

단계 1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$
							+	$4 k$	+	$40$

단계 1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $4 k + 40$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$
							-	$4 k$	-	$40$

단계 1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$
							-	$4 k$	-	$40$
										$0$

단계 1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$k^{2} + 8 k + 4$

단계 1.6

$k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(k + 10) (k^{2} + 8 k + 4) \div (k + 10)$

단계 2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

공약수를 소거하여 수식 $(k + 10) (k^{2} + 8 k + 4) \div (k + 10)$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

공약수로 약분합니다.

$(k + 10) (k^{2} + 8 k + 4) \div (k + 10)$

단계 2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{k^{2} + 8 k + 4}{1}$

단계 2.2

$k^{2} + 8 k + 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$k^{2} + 8 k + 4$