기초 수학 예제

$\frac{1}{a^{2} - 25} - \frac{a - 5}{a^{2} - 4 a - 5}$

단계 1

AC 방법을 이용하여 $a^{2} - 4 a - 5$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 5$ 이고 합은 $- 4$ 입니다.

$- 5, 1$

단계 1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{1}{a^{2} - 25} - \frac{a - 5}{(a - 5) (a + 1)}$

단계 2

$a - 5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{a^{2} - 25} - \frac{a - 5}{(a - 5) (a + 1)}$

단계 2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{a^{2} - 25} - \frac{1}{a + 1}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{a^{2} - 25}$ 을 표현하기 위해 $\frac{a + 1}{a + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{a^{2} - 25} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{1}{a + 1}$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{a + 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{a^{2} - 25}{a^{2} - 25}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{a^{2} - 25} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{1}{a + 1} \cdot \frac{a^{2} - 25}{a^{2} - 25}$

단계 5

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(a^{2} - 25) (a + 1)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{a^{2} - 25}$ 에 $\frac{a + 1}{a + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{a + 1}{(a^{2} - 25) (a + 1)} - \frac{1}{a + 1} \cdot \frac{a^{2} - 25}{a^{2} - 25}$

단계 5.2

$\frac{1}{a + 1}$ 에 $\frac{a^{2} - 25}{a^{2} - 25}$ 을 곱합니다.

$\frac{a + 1}{(a^{2} - 25) (a + 1)} - \frac{a^{2} - 25}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

단계 5.3

$(a^{2} - 25) (a + 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{a + 1}{(a + 1) (a^{2} - 25)} - \frac{a^{2} - 25}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{a + 1 - (a^{2} - 25)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

단계 7

인수분해된 형태로 $\frac{a + 1 - (a^{2} - 25)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$ 를 다시 씁니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{a + 1 - a^{2} - - 25}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

단계 7.2

$- 1$ 에 $- 25$ 을 곱합니다.

$\frac{a + 1 - a^{2} + 25}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

단계 7.3

$1$ 를 $25$ 에 더합니다.

$\frac{a - a^{2} + 26}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

단계 7.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- a^{2} + a + 26}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

단계 7.5

$- a^{2} + a + 26$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.5.1

$- a^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (a^{2}) + a + 26}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

단계 7.5.2

$a$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) + 26}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

단계 7.5.3

$26$ 을 $- 1 (- 26)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) - 1 (- 26)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

단계 7.5.4

$- (a^{2}) - 1 (- a)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (a^{2} - a) - 1 (- 26)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

단계 7.5.5

$- (a^{2} - a) - 1 (- 26)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (a^{2} - a - 26)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

단계 7.6

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (a^{2} - a - 26)}{(a + 1) (a^{2} - 5^{2})}$

단계 7.7

인수분해합니다.

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단계 7.7.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = a$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$\frac{- (a^{2} - a - 26)}{(a + 1) ((a + 5) (a - 5))}$

단계 7.7.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{- (a^{2} - a - 26)}{(a + 1) (a + 5) (a - 5)}$