기초 수학 예제

$\frac{a^{2} - 16 a + 64}{a^{2} - 64} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

단계 1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 1.1

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{a^{2} - 16 a + 8^{2}}{a^{2} - 64} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

단계 1.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$16 a = 2 \cdot a \cdot 8$

단계 1.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 8 + 8^{2}}{a^{2} - 64} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

단계 1.4

$a = a$ 이고 $b = 8$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{{(a - 8)}^{2}}{a^{2} - 64} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

단계 2

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(a - 8)}^{2}}{a^{2} - 8^{2}} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

단계 3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = a$ 이고 $b = 8$ 입니다.

$\frac{{(a - 8)}^{2}}{(a + 8) (a - 8)} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

단계 4

공약수를 소거하여 수식 $\frac{{(a - 8)}^{2}}{(a + 8) (a - 8)}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 4.1

${(a - 8)}^{2}$ 에서 $a - 8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(a - 8) (a - 8)}{(a + 8) (a - 8)} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

단계 4.2

$(a + 8) (a - 8)$ 에서 $a - 8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(a - 8) (a - 8)}{(a - 8) (a + 8)} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

단계 4.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{(a - 8) (a - 8)}{(a - 8) (a + 8)} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

단계 4.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

단계 5

$a^{3} - 9 a^{2} + 8 a$ 에서 $a$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.1

$a^{3}$ 에서 $a$ 를 인수분해합니다.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a \cdot a^{2} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

단계 5.2

$- 9 a^{2}$ 에서 $a$ 를 인수분해합니다.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a \cdot a^{2} + a (- 9 a) + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

단계 5.3

$8 a$ 에서 $a$ 를 인수분해합니다.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a \cdot a^{2} + a (- 9 a) + a \cdot 8}{2 a^{2} - 128}$

단계 5.4

$a \cdot a^{2} + a (- 9 a)$ 에서 $a$ 를 인수분해합니다.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a^{2} - 9 a) + a \cdot 8}{2 a^{2} - 128}$

단계 5.5

$a (a^{2} - 9 a) + a \cdot 8$ 에서 $a$ 를 인수분해합니다.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a^{2} - 9 a + 8)}{2 a^{2} - 128}$

단계 6

인수분해합니다.

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단계 6.1

AC 방법을 이용하여 $a^{2} - 9 a + 8$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $8$ 이고 합은 $- 9$ 입니다.

$- 8, - 1$

단계 6.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a ((a - 8) (a - 1))}{2 a^{2} - 128}$

단계 6.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 a^{2} - 128}$

단계 7

$2 a^{2} - 128$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1

$2 a^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 (a^{2}) - 128}$

단계 7.2

$- 128$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 a^{2} + 2 \cdot - 64}$

단계 7.3

$2 a^{2} + 2 \cdot - 64$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 (a^{2} - 64)}$

단계 8

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 (a^{2} - 8^{2})}$

단계 9

인수분해합니다.

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단계 9.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = a$ 이고 $b = 8$ 입니다.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 ((a + 8) (a - 8))}$

단계 9.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 (a + 8) (a - 8)}$

단계 10

공약수를 소거하여 수식 $\frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 (a + 8) (a - 8)}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 10.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 (a + 8) (a - 8)}$

단계 10.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 1)}{2 (a + 8)}$