기초 수학 예제

$\frac{8 p^{3} + 1}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

단계 1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1

$8 p^{3}$ 을 ${(2 p)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(2 p)}^{3} + 1}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

단계 1.2

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(2 p)}^{3} + 1^{3}}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

단계 1.3

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2 p$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(2 p + 1) ({(2 p)}^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

$2 p$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 p + 1) (2^{2} p^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

단계 1.4.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

단계 1.4.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

단계 1.4.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

단계 1.4.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

단계 2

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(4 p^{3} + 20 p^{2}) - p - 5}$

단계 2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{4 p^{2} (p + 5) - (p + 5)}$

단계 2.2

최대공약수 $p + 5$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) (4 p^{2} - 1)}$

단계 2.3

$4 p^{2}$ 을 ${(2 p)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) ({(2 p)}^{2} - 1)}$

단계 2.4

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) ({(2 p)}^{2} - 1^{2})}$

단계 2.5

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2 p$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) (2 p + 1) (2 p - 1)}$

단계 3

$2 p + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) (2 p + 1) (2 p - 1)}$

단계 3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 p^{2} - 2 p + 1}{(p + 5) (2 p - 1)}$