대수 예제

$(1, 2)$ , $(4, 2)$ , $(5, 2)$

단계 1

타원에 대한 일반 방정식에는 2개의 형태가 있습니다.

수평 타원 방정식 $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

세로 방향으로 긴 타원의 방정식 $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 2

$a$ 는 꼭짓점 $(5, 2)$ 과 중심점 $(1, 2)$ 사이의 거리입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

거리 공식을 사용해 두 점 사이의 거리를 알아냅니다.

$거리 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

단계 2.2

점의 실제값을 거리 공식에 대입합니다.

$a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

단계 2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$5$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

단계 2.3.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}$

단계 2.3.3

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$a = \sqrt{16 + 0^{2}}$

단계 2.3.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$a = \sqrt{16 + 0}$

단계 2.3.5

$16$ 를 $0$ 에 더합니다.

$a = \sqrt{16}$

단계 2.3.6

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$a = \sqrt{4^{2}}$

단계 2.3.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$a = 4$

단계 3

$c$ 는 초점 $(4, 2)$ 과 중심 $(1, 2)$ 사이의 거리입니다.

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단계 3.1

거리 공식을 사용해 두 점 사이의 거리를 알아냅니다.

$거리 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

단계 3.2

점의 실제값을 거리 공식에 대입합니다.

$c = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$c = \sqrt{3^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

단계 3.3.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$c = \sqrt{9 + {(2 - 2)}^{2}}$

단계 3.3.3

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

단계 3.3.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$c = \sqrt{9 + 0}$

단계 3.3.5

$9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$c = \sqrt{9}$

단계 3.3.6

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$c = \sqrt{3^{2}}$

단계 3.3.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$c = 3$

단계 4

$c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 식을 사용합니다. $a$ 에 $4$ 를, $c$ 에 $3$ 을 대입합니다.

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단계 4.1

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

단계 4.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$16 - b^{2} = 3^{2}$

단계 4.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$16 - b^{2} = 9$

단계 4.4

$b$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 4.4.1

방정식의 양변에서 $16$ 를 뺍니다.

$- b^{2} = 9 - 16$

단계 4.4.2

$9$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$- b^{2} = - 7$

단계 4.5

$- b^{2} = - 7$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$- b^{2} = - 7$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

단계 4.5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.5.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

단계 4.5.2.2

$b^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$b^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

단계 4.5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.5.3.1

$- 7$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$b^{2} = 7$

단계 4.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{7}$

단계 4.7

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 4.7.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$b = \sqrt{7}$

단계 4.7.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$b = - \sqrt{7}$

단계 4.7.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

단계 5

$b$ 는 거리이므로 양수이여야 합니다.

$b = \sqrt{7}$

단계 6

초점 $(4, 2)$ 와 중심 $(1, 2)$ 사이의 직선의 기울기는 타원의 방향이 수직인지 아니면 수평인지를 결정합니다. 기울기가 $0$ 이면 그래프는 수평 방향입니다. 기울기가 정의되지 않은 경우 그래프는 수직 방향입니다.

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단계 6.1

기울기는 $x$ 의 변화량 분의 $y$ 의 변화량 혹은 변화율과 같습니다.

$m = \frac{y값의 변화}{x값의 변화}$

단계 6.2

$x$ 의 변화량은 x좌표값의 차이(run)와 같고, $y$ 의 변화량은 y좌표값의 차이(rise)와 같습니다.

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

단계 6.3

$x$ 와 $y$ 값을 방정식에 대입하여 기울기를 구합니다.

$m = \frac{2 - (2)}{1 - (4)}$

단계 6.4

간단히 합니다.

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단계 6.4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.4.1.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$m = \frac{2 - 2}{1 - (4)}$

단계 6.4.1.2

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$m = \frac{0}{1 - (4)}$

단계 6.4.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.4.2.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$m = \frac{0}{1 - 4}$

단계 6.4.2.2

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$m = \frac{0}{- 3}$

단계 6.4.3

$0$ 을 $- 3$ 로 나눕니다.

$m = 0$

단계 6.5

수평 타원 방정식의 일반형은 $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ 입니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 7

$h = 1$ , $k = 2$ , $a = 4$ , $b = \sqrt{7}$ 값을 $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ 에 대입하여 타원의 방정식인 $\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$ 을 얻습니다.

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

단계 8

타원의 최종 방정식을 구하기 위해 식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

단계 8.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

단계 8.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} = 1$

단계 8.4

${\sqrt{7}}^{2}$ 을 $7$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 8.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{7}$ 을(를) $7^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

단계 8.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

단계 8.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

단계 8.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

단계 8.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

단계 8.4.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

단계 9