대수 예제

f (x) = 2 x^{2} - 8

$f (x) = 2 x^{2} - 8$

단계 1

f (x) = 2 x^{2} - 8

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

y = 2 x^{2} - 8

$y = 2 x^{2} - 8$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

x = 2 y^{2} - 8

$x = 2 y^{2} - 8$

단계 3

y

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

2 y^{2} - 8 = x

$2 y^{2} - 8 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

2 y^{2} - 8 = x

$2 y^{2} - 8 = x$

단계 3.2

방정식의 양변에

8

$8$ 를 더합니다.

2 y^{2} = x + 8

$2 y^{2} = x + 8$

단계 3.3

2 y^{2} = x + 8

$2 y^{2} = x + 8$ 의 각 항을

2

$2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

2 y^{2} = x + 8

$2 y^{2} = x + 8$ 의 각 항을

2

$2$ 로 나눕니다.

\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{8}{2}

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{8}{2}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{8}{2}$

단계 3.3.2.1.2

$y^{2}$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{x}{2} + \frac{8}{2}$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$8$ 을

$2$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{x}{2} + 4$

단계 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + 4}$

단계 3.5

$\pm \sqrt{\frac{x}{2} + 4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

공통 분모를 가지는 분수로

$4$ 을 표현하기 위해

$\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 3.5.2

$4$ 와

$\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}}$

단계 3.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 4 \cdot 2}{2}}$

단계 3.5.4

$4$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 8}{2}}$

단계 3.5.5

$\sqrt{\frac{x + 8}{2}}$ 을

$\frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$

단계 3.5.6

$\frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$ 에

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

단계 3.5.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.1

$\frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$ 에

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

단계 3.5.7.2

$\sqrt{2}$ 를

$1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

단계 3.5.7.3

$\sqrt{2}$ 를

$1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

단계 3.5.7.4

지수 법칙

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

단계 3.5.7.5

$1$ 를

$1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

단계 3.5.7.6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을

$2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여

$\sqrt{2}$ 을(를)

$2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.5.7.6.2

멱의 법칙을 적용하여

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.5.7.6.3

$\frac{1}{2}$ 와

$2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.5.7.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.5.7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{1}}$

단계 3.5.7.6.5

지수값을 계산합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2}$

단계 3.5.8

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 8) \cdot 2}}{2}$

단계 3.5.9

$\pm \frac{\sqrt{(x + 8) \cdot 2}}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

단계 3.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

먼저,

$\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

단계 3.6.2

그 다음

$\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

단계 3.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

단계 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

단계 5

증명하려면

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ 가

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다.

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ 및

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 5.2

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

치역은 모든 유효한

$y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[- 8, \infty)$

단계 5.3

$\frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면

$\sqrt{2 (x + 8)}$ 의 피개법수를

$0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$2 (x + 8) \geq 0$

단계 5.3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$2 (x + 8) \geq 0$ 의 각 항을

$2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

$2 (x + 8) \geq 0$ 의 각 항을

$2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 (x + 8)}{2} \geq \frac{0}{2}$

단계 5.3.2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (x + 8)}{2} \geq \frac{0}{2}$

단계 5.3.2.1.2.1.2

$x + 8$ 을

$1$ 로 나눕니다.

$x + 8 \geq \frac{0}{2}$

단계 5.3.2.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.3.1

$0$ 을

$2$ 로 나눕니다.

$x + 8 \geq 0$

단계 5.3.2.2

부등식의 양변에서

$8$ 를 뺍니다.

$x \geq - 8$

단계 5.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한

$x$ 값입니다.

$[- 8, \infty)$

단계 5.4

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5.5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ 의 정의역이

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ 의 치역이고

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ 의 치역이

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ 의 정의역이므로

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ 은

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

단계 6