대수 예제

${(\sqrt{2} + i \sqrt{2})}^{3}$

단계 1

이항정리 이용

${\sqrt{2}}^{3} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

${\sqrt{2}}^{3}$ 을 $\sqrt{2^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{2^{3}} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\sqrt{8} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.3

$8$ 을 $2^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{4 (2)} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.3.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.5

지수를 더하여 ${\sqrt{2}}^{2}$ 에 $\sqrt{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

$\sqrt{2}$ 를 옮깁니다.

$2 \sqrt{2} + 3 (\sqrt{2} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.5.2

$\sqrt{2}$ 에 ${\sqrt{2}}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.2.1

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \sqrt{2} + 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{1 + 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.5.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{3} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.6

${\sqrt{2}}^{3}$ 을 $\sqrt{2^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{3}} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.7

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{8} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.8

$8$ 을 $2^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.8.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{4 (2)} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.8.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$2 \sqrt{2} + 3 (2 \sqrt{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.10

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.11

$i \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} (i^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.12

지수를 더하여 $\sqrt{2}$ 에 ${\sqrt{2}}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.12.1

${\sqrt{2}}^{2}$ 를 옮깁니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.12.2

${\sqrt{2}}^{2}$ 에 $\sqrt{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.12.2.1

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} {\sqrt{2}}^{1}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.12.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{2 + 1} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.12.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.13

${\sqrt{2}}^{3}$ 을 $\sqrt{2^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{3}} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.14

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{8} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.15

$8$ 을 $2^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.15.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{4 (2)} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.15.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.16

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 (2 \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.17

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.18

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} \cdot - 1 + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.19

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

단계 2.1.20

$i \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{3} {\sqrt{2}}^{3}$

단계 2.1.21

$i^{2}$ 로 인수분해합니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{2} \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

단계 2.1.22

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 1 \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

단계 2.1.23

$- 1 i$ 을 $- i$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i {\sqrt{2}}^{3}$

단계 2.1.24

${\sqrt{2}}^{3}$ 을 $\sqrt{2^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{3}}$

단계 2.1.25

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{8}$

단계 2.1.26

$8$ 을 $2^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.26.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{4 (2)}$

단계 2.1.26.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

단계 2.1.27

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i (2 \sqrt{2})$

단계 2.1.28

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

단계 2.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2 \sqrt{2}$ 에서 $6 \sqrt{2}$ 을 뺍니다.

$6 \sqrt{2} i - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

단계 2.2.2

$6 \sqrt{2} i$ 인수를 다시 정렬합니다.

$6 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

단계 2.2.3

$6 i \sqrt{2}$ 에서 $2 i \sqrt{2}$ 을 뺍니다.

$4 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

단계 2.2.4

$4 i \sqrt{2}$ 와 $- 4 \sqrt{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- 4 \sqrt{2} + 4 i \sqrt{2}$

단계 3

삼각함수 형식으로 복소수를 표현하는 방법으로, $| z |$ 는 절댓값이고 $θ$ 는 복소평면에서의 편각입니다.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

단계 4

복소수의 절대값은 복소평면에서 원점으로부터의 거리입니다.

$z = a + b i$ 일 때 $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 입니다

단계 5

실제값인 $a = - 4 \sqrt{2}$ 과 $b = 4 \sqrt{2}$ 를 대입합니다.

$| z | = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

단계 6

$| z |$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$4 \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$| z | = \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

단계 6.1.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

단계 6.2

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$| z | = \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

단계 6.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

단계 6.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

단계 6.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

단계 6.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

단계 6.2.5

지수값을 계산합니다.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

단계 6.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$16$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

단계 6.3.2

$- 4 \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

단계 6.3.3

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

단계 6.4

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$| z | = \sqrt{32 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 6.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 6.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

단계 6.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

단계 6.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

단계 6.4.5

지수값을 계산합니다.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

단계 6.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$16$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$| z | = \sqrt{32 + 32}$

단계 6.5.2

$32$ 를 $32$ 에 더합니다.

$| z | = \sqrt{64}$

단계 6.5.3

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

단계 6.5.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| z | = 8$

단계 7

복소평면에서의 점의 각은 복소수 부분을 실수 부분으로 나눈 값의 역탄젠트값입니다.

$θ = \arctan (\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}})$

단계 8

$\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}}$ 에 역 탄젠트를 취하면 제2사분면의 각이 나오며 이 각의 값은 $\frac{3 π}{4}$ 입니다.

$θ = \frac{3 π}{4}$

단계 9

$θ = \frac{3 π}{4}$ , $| z | = 8$ 값을 대입합니다.

$8 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$