대수 예제

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

단계 1

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

단계 2

x절편을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

x절편을 구하려면 $y$ 에 $0$ 을 대입하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

$0 = x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

단계 2.2

식을 풉니다.

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단계 2.2.1

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18 = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18 = 0$

단계 2.2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

단계 2.2.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

단계 2.2.2.1.3

$2$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $2$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 2.2.2.1.3.1

$2$ 을 다항식에 대입합니다.

$2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

단계 2.2.2.1.3.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

단계 2.2.2.1.3.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$8 + 4 \cdot 4 - 3 \cdot 2 - 18$

단계 2.2.2.1.3.4

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 + 16 - 3 \cdot 2 - 18$

단계 2.2.2.1.3.5

$8$ 를 $16$ 에 더합니다.

$24 - 3 \cdot 2 - 18$

단계 2.2.2.1.3.6

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$24 - 6 - 18$

단계 2.2.2.1.3.7

$24$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$18 - 18$

단계 2.2.2.1.3.8

$18$ 에서 $18$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.2.2.1.4

$2$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18}{x - 2}$

단계 2.2.2.1.5

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ 을 $x - 2$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

단계 2.2.2.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$

단계 2.2.2.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

단계 2.2.2.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - 2 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

단계 2.2.2.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

단계 2.2.2.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

단계 2.2.2.1.5.7

피제수 $6 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

단계 2.2.2.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$12 x$

단계 2.2.2.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $6 x^{2} - 12 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$

단계 2.2.2.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$

단계 2.2.2.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

단계 2.2.2.1.5.12

피제수 $9 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

단계 2.2.2.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

단계 2.2.2.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $9 x - 18$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

단계 2.2.2.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$
										$0$

단계 2.2.2.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} + 6 x + 9$

단계 2.2.2.1.6

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x - 2) (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

단계 2.2.2.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 2.2.2.2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - 2) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

단계 2.2.2.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

단계 2.2.2.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

단계 2.2.2.2.4

$a = x$ 이고 $b = 3$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(x - 2) {(x + 3)}^{2} = 0$

단계 2.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 2 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

단계 2.2.4

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.2.4.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 2.2.4.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.2.5

${(x + 3)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

${(x + 3)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x + 3)}^{2} = 0$

단계 2.2.5.2

${(x + 3)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 2.2.5.2.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 2.2.6

$(x - 2) {(x + 3)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 3$

단계 2.3

점 형태의 x절편입니다.

x절편: $(2, 0), (- 3, 0)$

단계 3

Y절편을 구합니다.

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단계 3.1

y절편을 구하려면 $x$ 에 $0$ 을 대입하고 $y$ 에 대해 식을 풉니다.

$y = {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

단계 3.2

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 0^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

단계 3.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = 0^{3} + 4 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

단계 3.2.3

괄호를 제거합니다.

$y = {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

단계 3.2.4

${(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.2.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.4.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$y = 0 + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

단계 3.2.4.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$y = 0 + 4 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 18$

단계 3.2.4.1.3

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0 + 0 - 3 \cdot 0 - 18$

단계 3.2.4.1.4

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0 + 0 + 0 - 18$

단계 3.2.4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 0 + 0 - 18$

단계 3.2.4.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 0 - 18$

단계 3.2.4.2.3

$0$ 에서 $18$ 을 뺍니다.

$y = - 18$

단계 3.3

점 형태의 y절편입니다.

y절편: $(0, - 18)$

단계 4

교집합을 나열합니다.

x절편: $(2, 0), (- 3, 0)$

y절편: $(0, - 18)$

단계 5