대수 예제

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$V = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d V} (V) = \frac{d}{d V} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$

단계 3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 는 $n V^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$π$ 와 $\frac{4}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

단계 4.1.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$\frac{π \cdot 4}{3}$ 와 $r^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}]$

단계 4.1.2.2

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{d}{d V} [\frac{4 \cdot π r^{3}}{3}]$

단계 4.1.3

$\frac{4 π}{3}$ 은 $V$ 에 대해 일정하므로 $V$ 에 대한 $\frac{4 π r^{3}}{3}$ 의 미분은 $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$ 입니다.

$\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$

단계 4.2

$f (V) = V^{3}$ , $g (V) = r$ 일 때 $\frac{d}{d V} [f (g (V))]$ 는 $f' (g (V)) g' (V)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $r$ 로 바꿉니다.

$\frac{4 π}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d V} [r])$

단계 4.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 π}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d V} [r])$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $r$ 로 바꿉니다.

$\frac{4 π}{3} (3 r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

단계 4.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$3$ 와 $\frac{4 π}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 (4 π)}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

단계 4.3.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{12 π}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

단계 4.3.3

$r^{2}$ 와 $\frac{12 π}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{r^{2} (12 π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

단계 4.3.4

$r^{2}$ 의 왼쪽으로 $12$ 이동하기

$\frac{12 \cdot r^{2} π}{3} \frac{d}{d V} [r]$

단계 4.3.5

$12$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$12 r^{2} π$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

단계 4.3.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 (1)} \frac{d}{d V} [r]$

단계 4.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 \cdot 1} \frac{d}{d V} [r]$

단계 4.3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 r^{2} π}{1} \frac{d}{d V} [r]$

단계 4.3.5.2.4

$4 r^{2} π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 r^{2} π \frac{d}{d V} [r]$

단계 4.4

$\frac{d}{d V} [r]$ 을 $r'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 r^{2} π r'$

단계 4.5

$4 r^{2} π r'$ 인수를 다시 정렬합니다.

$4 π r^{2} r'$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 = 4 π r^{2} r'$

단계 6

$r'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$4 π r^{2} r' = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$4 π r^{2} r' = 1$

단계 6.2

$4 π r^{2} r' = 1$ 의 각 항을 $4 π r^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$4 π r^{2} r' = 1$ 의 각 항을 $4 π r^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

단계 6.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

단계 6.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

단계 6.2.2.2

$π$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

단계 6.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

단계 6.2.2.3

$r^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

단계 6.2.2.3.2

$r'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r' = \frac{1}{4 π r^{2}}$

단계 7

$r'$ 에 $\frac{d r}{d V}$ 를 대입합니다.

$\frac{d r}{d V} = \frac{1}{4 π r^{2}}$