대수 예제

$f (x) = - 4 {(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)$

단계 1

함수가 우함수인지, 기함수인지, 아니면 둘 다 아닌지를 판단하여 대칭에 대해 알아냅니다.

1. 기함수의 경우, 함수는 원점에 대해 대칭입니다.

2. 우함수의 경우, 함수는 y축에 대해 대칭입니다.

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${(x - 4)}^{2}$ 을 $(x - 4) (x - 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x) = - 4 ((x - 4) (x - 4)) (x^{2} - 4)$

단계 2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 4) (x - 4)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x) = - 4 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (x^{2} - 4)$

단계 2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x) = - 4 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (x^{2} - 4)$

단계 2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x) = - 4 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (x^{2} - 4)$

단계 2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f (x) = - 4 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (x^{2} - 4)$

단계 2.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$f (x) = - 4 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (x^{2} - 4)$

단계 2.3.1.3

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f (x) = - 4 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (x^{2} - 4)$

단계 2.3.2

$- 4 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$f (x) = - 4 (x^{2} - 8 x + 16) (x^{2} - 4)$

단계 2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x) = (- 4 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 16) (x^{2} - 4)$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$- 8$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f (x) = (- 4 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 16) (x^{2} - 4)$

단계 2.5.2

$- 4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f (x) = (- 4 x^{2} + 32 x - 64) (x^{2} - 4)$

단계 2.6

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(- 4 x^{2} + 32 x - 64) (x^{2} - 4)$ 를 전개합니다.

$f (x) = - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

단계 2.7

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$f (x) = - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

단계 2.7.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x) = - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

단계 2.7.1.1.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (x) = - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

단계 2.7.1.2

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

단계 2.7.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1.3.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 (x^{2} x) + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

단계 2.7.1.3.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 (x^{2} x) + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

단계 2.7.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{2 + 1} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

단계 2.7.1.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{3} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

단계 2.7.1.4

$- 4$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

단계 2.7.1.5

$- 64$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x - 64 x^{2} + 256$

단계 2.7.2

$16 x^{2}$ 에서 $64 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f (x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256$

단계 3

$f (- x)$ 를 구합니다.

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단계 3.1

$f (x)$ 의 모든 $x$ 을 $- x$ 로 치환하여 $f (- x)$ 을 구합니다.

$f (- x) = - 4 {(- x)}^{4} - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- x) = - 4 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

단계 3.2.2

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- x) = - 4 (1 x^{4}) - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

단계 3.2.3

$x^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

단계 3.2.4

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

단계 3.2.5

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 (1 x^{2}) + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

단계 3.2.6

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

단계 3.2.7

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 128 (- x) + 256$

단계 3.2.8

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 (- x^{3}) - 128 (- x) + 256$

단계 3.2.9

$- 1$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} - 128 (- x) + 256$

단계 3.2.10

$- 1$ 에 $- 128$ 을 곱합니다.

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x + 256$

단계 4

$f (- x) = f (x)$ 인 경우 함수는 우함수입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (- x) = f (x)$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$- 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x + 256$ $\neq$ $- 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256$ 이므로 이 함수는 우함수가 아닙니다.

이 함수는 우함수가 아님

단계 5

$f (- x) = - f (x)$ 인 경우 함수는 기함수입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- f (x)$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$- 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- f (x) = - (- 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256)$

단계 5.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- f (x) = - (- 4 x^{4}) - (- 48 x^{2}) - (32 x^{3}) - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

단계 5.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- f (x) = 4 x^{4} - (- 48 x^{2}) - (32 x^{3}) - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

단계 5.1.3.2

$- 48$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - (32 x^{3}) - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

단계 5.1.3.3

$32$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

단계 5.1.3.4

$- 128$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x - 1 \cdot 256$

단계 5.1.3.5

$- 1$ 에 $256$ 을 곱합니다.

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x - 256$

단계 5.2

$- 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x + 256$ $\neq$ $4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x - 256$ 이므로 이 함수는 기함수가 아닙니다.

이 함수는 기함수가 아님

단계 6

이 함수는 우함수도 기함수도 아님

단계 7

함수가 기함수가 아니므로, 원점에 대해 대칭이 아닙니다.

원점 대칭 아님

단계 8

함수가 우함수가 아니므로, y축에 대해 대칭이 아닙니다.

y축 대칭 없음

단계 9

함수가 기함수도 아니고 우함수도 아니므로, 원점/y축에 대해 대칭이 아닙니다.

함수가 대칭이 아님

단계 10