대수 예제

$f (x) = 4 x^{2} - 25$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm \frac{25}{4}$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$4 {(\frac{5}{2})}^{2} - 25$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = \frac{5}{2}$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$\frac{5}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 25$

단계 4.1.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 \frac{25}{2^{2}} - 25$

단계 4.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 (\frac{25}{4}) - 25$

단계 4.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$4 (\frac{25}{4}) - 25$

단계 4.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$25 - 25$

단계 4.2

$25$ 에서 $25$ 을 뺍니다.

$0$

단계 5

$\frac{5}{2}$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - \frac{5}{2}$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{4 x^{2} - 25}{x - \frac{5}{2}}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$

단계 6.2

피제수 $(4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$

	$4$

단계 6.3

제수 $(\frac{5}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(10)$ 을 피제수 $(0)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$
	$4$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$
	$4$	$10$

단계 6.5

제수 $(\frac{5}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(10)$ 을 곱하여 나온 값 $(25)$ 을 피제수 $(- 25)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$	$25$
	$4$	$10$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$	$25$
	$4$	$10$	$0$

단계 6.7

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$(4) x + 10$

단계 6.8

몫 다항식을 간단히 합니다.

$4 x + 10$

단계 7

$4 x + 10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1

$4 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x) + 10)$

단계 7.2

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x) + 2 (5))$

단계 7.3

$2 (2 x) + 2 (5)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x + 5))$

단계 8

방정식의 양변에 $25$ 를 더합니다.

$4 x^{2} = 25$

단계 9

$4 x^{2} = 25$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 9.1

$4 x^{2} = 25$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

단계 9.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

단계 9.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{25}{4}$

단계 10

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

단계 11

$\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$\sqrt{\frac{25}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

단계 11.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

단계 11.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

단계 11.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 11.3.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

단계 11.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{5}{2}$

단계 12

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 12.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{5}{2}$

단계 12.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{5}{2}$

단계 12.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

단계 13