대수 예제

$f (x) = x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

$q = \pm 1$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

${(5)}^{3} - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = 5$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$125 - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

단계 4.1.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$125 - 11 \cdot 25 + 43 (5) - 65$

단계 4.1.3

$- 11$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$125 - 275 + 43 (5) - 65$

단계 4.1.4

$43$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$125 - 275 + 215 - 65$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$125$ 에서 $275$ 을 뺍니다.

$- 150 + 215 - 65$

단계 4.2.2

$- 150$ 를 $215$ 에 더합니다.

$65 - 65$

단계 4.2.3

$65$ 에서 $65$ 을 뺍니다.

$0$

단계 5

$5$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - 5$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65}{x - 5}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

단계 6.2

피제수 $(1)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

	$1$

단계 6.3

제수 $(5)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(5)$ 을 피제수 $(- 11)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$	$- 6$

단계 6.5

제수 $(5)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 6)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 30)$ 을 피제수 $(43)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$	$13$

단계 6.7

제수 $(5)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(13)$ 을 곱하여 나온 값 $(65)$ 을 피제수 $(- 65)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$	$0$

단계 6.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$1 x^{2} + - 6 x + 13$

단계 6.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$x^{2} - 6 x + 13$

단계 7

방정식을 풀어 나머지 근을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 7.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 6$ , $c = 13$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 13$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.2.2

$- 4$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.3

$36$ 에서 $52$ 을 뺍니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.4

$- 16$ 을 $- 1 (16)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.7

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

단계 7.3.3

$\frac{6 \pm 4 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 3 \pm 2 i$

단계 7.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1.1

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 13$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.2.2

$- 4$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.3

$36$ 에서 $52$ 을 뺍니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.4

$- 16$ 을 $- 1 (16)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.7

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

단계 7.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

단계 7.4.3

$\frac{6 \pm 4 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 3 \pm 2 i$

단계 7.4.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = 3 + 2 i$

단계 7.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1.1

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

단계 7.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 13$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

단계 7.5.1.2.2

$- 4$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

단계 7.5.1.3

$36$ 에서 $52$ 을 뺍니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

단계 7.5.1.4

$- 16$ 을 $- 1 (16)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 7.5.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

단계 7.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

단계 7.5.1.7

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 7.5.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

단계 7.5.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

단계 7.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

단계 7.5.3

$\frac{6 \pm 4 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 3 \pm 2 i$

단계 7.5.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = 3 - 2 i$

단계 7.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

단계 8

다항식은 선형 인자의 집합으로 표현할 수 있습니다.

$(x - 5) (x - 3 - 2 i) (x - 3 + 2 i)$

단계 9

다항식 $x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ 의 근(해)입니다.

$x = 5, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

단계 10