대수 예제

$f (x) = x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

${(1)}^{6} - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = 1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

단계 4.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 - 2 \cdot 1 - 5 {(1)}^{2} + 6$

단계 4.1.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - 2 - 5 {(1)}^{2} + 6$

단계 4.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 - 2 - 5 \cdot 1 + 6$

단계 4.1.5

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - 2 - 5 + 6$

$1 - 2 - 5 + 6$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 1 - 5 + 6$

단계 4.2.2

$- 1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$- 6 + 6$

단계 4.2.3

$- 6$ 를 $6$ 에 더합니다.

$0$

$0$

$0$

단계 5

$1$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x - 1}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

단계 6.2

피제수 $(1)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

	$1$

단계 6.3

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(1)$ 을 피제수 $(0)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$	$1$

단계 6.5

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(1)$ 을 피제수 $(- 2)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$- 1$

단계 6.7

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 1)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 1)$ 을 피제수 $(0)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

단계 6.9

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 1)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 1)$ 을 피제수 $(- 5)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

단계 6.11

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 6)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 6)$ 을 피제수 $(0)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

단계 6.12

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

단계 6.13

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 6)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 6)$ 을 피제수 $(6)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

단계 6.14

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$	$0$

단계 6.15

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$1 x^{5} + 1 x^{4} - 1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 6) x - 6$

단계 6.16

몫 다항식을 간단히 합니다.

$x^{5} + x^{4} - x^{3} - x^{2} - 6 x - 6$

$x^{5} + x^{4} - x^{3} - x^{2} - 6 x - 6$

단계 7

방정식을 풀어 나머지 근을 구합니다.

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단계 7.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 7.1.1

항을 다시 묶습니다.

$x^{5} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

단계 7.1.2

$x^{5} - x^{3} - 6 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1.2.1

$x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

단계 7.1.2.2

$- x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

단계 7.1.2.3

$- 6 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

단계 7.1.2.4

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

단계 7.1.2.5

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{4} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

$x (x^{4} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

단계 7.1.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

단계 7.1.4

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$x (u^{2} - u - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

단계 7.1.5

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - u - 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 6$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 3, 2$

단계 7.1.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$x ((u - 3) (u + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

$x ((u - 3) (u + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

단계 7.1.6

인수분해합니다.

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단계 7.1.6.1

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x ((x^{2} - 3) (x^{2} + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

단계 7.1.6.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

단계 7.1.7

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6 = 0$

단계 7.1.8

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + u^{2} - u - 6 = 0$

단계 7.1.9

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - u - 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1.9.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 6$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 3, 2$

단계 7.1.9.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (u - 3) (u + 2) = 0$

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (u - 3) (u + 2) = 0$

단계 7.1.10

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

단계 7.1.11

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ 에서 $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1.11.1

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ 에서 $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

단계 7.1.11.2

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ 에서 $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1) = 0$

단계 7.1.11.3

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1)$ 에서 $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$

단계 7.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

단계 7.3

$x^{2} - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 7.3.1

$x^{2} - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 3 = 0$

단계 7.3.2

$x^{2} - 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 7.3.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x^{2} = 3$

단계 7.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

단계 7.3.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{3}$

단계 7.3.2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{3}$

단계 7.3.2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 7.4

$x^{2} + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$x^{2} + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 2 = 0$

단계 7.4.2

$x^{2} + 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 2$

단계 7.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

단계 7.4.2.3

$\pm \sqrt{- 2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 7.4.2.3.1

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

단계 7.4.2.3.2

$\sqrt{- 1 (2)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

단계 7.4.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \sqrt{2}$

$x = \pm i \sqrt{2}$

단계 7.4.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i \sqrt{2}$

단계 7.4.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i \sqrt{2}$

단계 7.4.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

단계 7.5

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 7.5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

$x = - 1$

단계 7.6

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

단계 8

다항식은 선형 인자의 집합으로 표현할 수 있습니다.

$(x - 1) (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) (x - i \sqrt{2}) (x + \sqrt{2} i) (x + 1)$

단계 9

다항식 $x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$ 의 근(해)입니다.

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

단계 10

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$