대수 예제

$f (x) = x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

$q = \pm 1$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

${(1)}^{4} + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = 1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

단계 4.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 12 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

단계 4.1.3

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 12 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

단계 4.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 12 - 15 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 26$

단계 4.1.5

$- 15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 12 - 15 - 24 \cdot 1 + 26$

단계 4.1.6

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 12 - 15 - 24 + 26$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$1$ 를 $12$ 에 더합니다.

$13 - 15 - 24 + 26$

단계 4.2.2

$13$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$- 2 - 24 + 26$

단계 4.2.3

$- 2$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$- 26 + 26$

단계 4.2.4

$- 26$ 를 $26$ 에 더합니다.

$0$

단계 5

$1$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26}{x - 1}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

단계 6.2

피제수 $(1)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

	$1$

단계 6.3

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(1)$ 을 피제수 $(12)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$	$13$

단계 6.5

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(13)$ 을 곱하여 나온 값 $(13)$ 을 피제수 $(- 15)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$	$- 2$

단계 6.7

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 2)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 2)$ 을 피제수 $(- 24)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

단계 6.9

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 26)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 26)$ 을 피제수 $(26)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$	$0$

단계 6.11

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$1 x^{3} + 13 x^{2} + (- 2) x - 26$

단계 6.12

몫 다항식을 간단히 합니다.

$x^{3} + 13 x^{2} - 2 x - 26$

단계 7

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 7.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x - 1) (x^{3} + 13 x^{2}) - 2 x - 26$

단계 7.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x - 1) + x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

$(x - 1) x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

단계 8

최대공약수 $x + 13$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x - 1) (x + 13) (x^{2} - 2)$

단계 9

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 9.1

항을 다시 묶습니다.

$12 x^{3} - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

단계 9.2

$12 x^{3} - 24 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.2.1

$12 x^{3}$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x^{2}) - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

단계 9.2.2

$- 24 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

단계 9.2.3

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2)$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

단계 9.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$12 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 26 = 0$

단계 9.4

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$12 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 15 u + 26 = 0$

단계 9.5

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 15 u + 26$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $26$ 이고 합은 $- 15$ 입니다.

$- 13, - 2$

단계 9.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$12 x (x^{2} - 2) + (u - 13) (u - 2) = 0$

단계 9.6

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

단계 9.7

$12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ 에서 $x^{2} - 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.7.1

$12 x (x^{2} - 2)$ 에서 $x^{2} - 2$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

단계 9.7.2

$(x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ 에서 $x^{2} - 2$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13) = 0$

단계 9.7.3

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13)$ 에서 $x^{2} - 2$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 2) (12 x + x^{2} - 13) = 0$

단계 9.8

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} - 2) (12 u + u^{2} - 13) = 0$

단계 9.9

AC 방법을 이용하여 $12 u + u^{2} - 13$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.9.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 13$ 이고 합은 $12$ 입니다.

$- 1, 13$

단계 9.9.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x^{2} - 2) ((u - 1) (u + 13)) = 0$

단계 9.10

인수분해합니다.

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단계 9.10.1

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} - 2) ((x - 1) (x + 13)) = 0$

단계 9.10.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$

단계 10

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 13 = 0$

단계 11

$x^{2} - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 11.1

$x^{2} - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 2 = 0$

단계 11.2

$x^{2} - 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 11.2.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x^{2} = 2$

단계 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

단계 11.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 11.2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{2}$

단계 11.2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{2}$

단계 11.2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 12

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 12.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 12.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 13

$x + 13$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 13.1

$x + 13$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 13 = 0$

단계 13.2

방정식의 양변에서 $13$ 를 뺍니다.

$x = - 13$

단계 14

$(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

단계 15

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

소수 형태:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 1, - 13$

단계 16