대수 예제

$x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 65, \pm 5, \pm 13$

$q = \pm 1$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 65, \pm 5, \pm 13$

단계 3

$5$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $5$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$5$ 을 다항식에 대입합니다.

$5^{3} - 11 \cdot 5^{2} + 43 \cdot 5 - 65$

단계 3.2

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$125 - 11 \cdot 5^{2} + 43 \cdot 5 - 65$

단계 3.3

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$125 - 11 \cdot 25 + 43 \cdot 5 - 65$

단계 3.4

$- 11$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$125 - 275 + 43 \cdot 5 - 65$

단계 3.5

$125$ 에서 $275$ 을 뺍니다.

$- 150 + 43 \cdot 5 - 65$

단계 3.6

$43$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 150 + 215 - 65$

단계 3.7

$- 150$ 를 $215$ 에 더합니다.

$65 - 65$

단계 3.8

$65$ 에서 $65$ 을 뺍니다.

$0$

단계 4

$5$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 5$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65}{x - 5}$

단계 5

$x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ 을 $x - 5$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$5$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$43 x$

$65$

단계 5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$

단계 5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

단계 5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - 5 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

단계 5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

단계 5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$

단계 5.7

피제수 $- 6 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$

단계 5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$

단계 5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 6 x^{2} + 30 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$

단계 5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$

단계 5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$

단계 5.12

피제수 $13 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$

단계 5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$
							+	$13 x$	-	$65$

단계 5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $13 x - 65$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$
							-	$13 x$	+	$65$

단계 5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$
							-	$13 x$	+	$65$
										$0$

단계 5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 6 x + 13$

단계 6

$x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x - 5) (x^{2} - 6 x + 13)$