대수 예제

$\frac{x^{2} + 7 x + 10}{(x^{2} + 2) (5 x + 1)} - \frac{x^{3} - 16}{5 x^{2} - 44 x - 9}$

단계 1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 7 x + 10$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $10$ 이고 합은 $7$ 입니다.

$2, 5$

단계 1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{(x^{2} + 2) (5 x + 1)} - \frac{x^{3} - 16}{5 x^{2} - 44 x - 9}$

단계 2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 5 \cdot - 9 = - 45$ 이고 합이 $b = - 44$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.1.1

$- 44 x$ 에서 $- 44$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{(x^{2} + 2) (5 x + 1)} - \frac{x^{3} - 16}{5 x^{2} - 44 x - 9}$

단계 2.1.2

$- 44$ 를 $1$ + $- 45$ 로 다시 씁니다.

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{(x^{2} + 2) (5 x + 1)} - \frac{x^{3} - 16}{5 x^{2} + (1 - 45) x - 9}$

단계 2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{(x^{2} + 2) (5 x + 1)} - \frac{x^{3} - 16}{5 x^{2} + 1 x - 45 x - 9}$

단계 2.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{(x^{2} + 2) (5 x + 1)} - \frac{x^{3} - 16}{5 x^{2} + x - 45 x - 9}$

단계 2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{(x^{2} + 2) (5 x + 1)} - \frac{x^{3} - 16}{(5 x^{2} + x) - 45 x - 9}$

단계 2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{(x^{2} + 2) (5 x + 1)} - \frac{x^{3} - 16}{x (5 x + 1) - 9 (5 x + 1)}$

단계 2.3

최대공약수 $5 x + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{(x^{2} + 2) (5 x + 1)} - \frac{x^{3} - 16}{(5 x + 1) (x - 9)}$

단계 3

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$(x^{2} + 2) (5 x + 1), (5 x + 1) (x - 9)$

단계 4

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 5

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 6

$1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1$

단계 7

$x^{2} + 2$ 의 인수는 $x^{2} + 2$ 자신입니다.

$(x^{2} + 2) = x^{2} + 2$

$(x^{2} + 2)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 8

$5 x + 1$ 의 인수는 $5 x + 1$ 자신입니다.

$(5 x + 1) = 5 x + 1$

$(5 x + 1)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 9

$x - 9$ 의 인수는 $x - 9$ 자신입니다.

$(x - 9) = x - 9$

$(x - 9)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 10

$x^{2} + 2, 5 x + 1, 5 x + 1, x - 9$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 인수의 최대 개수만큼 모든 인수를 곱한 결과입니다.

$(x^{2} + 2) (5 x + 1) (x - 9)$