대수 예제

$f (x) = \ln (x^{2} + 2 x - 8)$

단계 1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\ln (x^{2} + 2 x - 8)$ 의 진수를 $0$ 보다 크게 설정해야 합니다.

$x^{2} + 2 x - 8 > 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

단계 2.2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 2 x - 8$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 8$ 이고 합은 $2$ 입니다.

$- 2, 4$

단계 2.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

단계 2.4

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.5

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 2.6

$(x - 2) (x + 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 4$

단계 2.7

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$x > 2$

단계 2.8

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 2.8.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 2.8.1.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 2.8.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

${(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 8 > 0$

단계 2.8.1.3

좌변 $16$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 2.8.2

$- 4 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 2.8.2.1

$- 4 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 2.8.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

${(0)}^{2} + 2 (0) - 8 > 0$

단계 2.8.2.3

좌변 $- 8$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 2.8.3

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 2.8.3.1

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 2.8.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

${(4)}^{2} + 2 (4) - 8 > 0$

단계 2.8.3.3

좌변 $16$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 2.8.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 4$ 참

$- 4 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

$x < - 4$ 참

$- 4 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

단계 2.9

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 4$ 또는 $x > 2$

단계 3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 4) \cup (2, \infty)$

조건제시법:

${x | x < - 4, x > 2}$

단계 4