대수 예제

$p (x) = \frac{6 x - 12 x^{9}}{3 x^{3} + 7}$

단계 1

식 $\frac{6 x - 12 x^{9}}{3 x^{3} + 7}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = - \frac{\sqrt[3]{63}}{3}$

단계 2

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 3

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 9$

$m = 3$

단계 4

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 5

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$6 x - 12 x^{9}$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$6 x$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 x (1) - 12 x^{9}}{3 x^{3} + 7}$

단계 5.1.2

$- 12 x^{9}$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 x (1) + 6 x (- 2 x^{8})}{3 x^{3} + 7}$

단계 5.1.3

$6 x (1) + 6 x (- 2 x^{8})$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 x (1 - 2 x^{8})}{3 x^{3} + 7}$

단계 5.2

$6 x (1 - 2 x^{8})$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{6 x \cdot 1 + 6 x (- 2 x^{8})}{3 x^{3} + 7}$

단계 5.2.2

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{6 \cdot (1 x) + 6 x (- 2 x^{8})}{3 x^{3} + 7}$

단계 5.2.3

괄호를 제거합니다.

$\frac{6 \cdot (1 x) + 6 x \cdot (- 2 x^{8})}{3 x^{3} + 7}$

단계 5.2.4

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{6 \cdot (1 x) + 6 \cdot (- 2 x \cdot x^{8})}{3 x^{3} + 7}$

단계 5.2.5

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x + 6 \cdot (- 2 x \cdot x^{8})}{3 x^{3} + 7}$

단계 5.2.6

$6$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x - 12 x \cdot x^{8}}{3 x^{3} + 7}$

단계 5.2.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{6 x - 12 (x \cdot x^{8})}{3 x^{3} + 7}$

단계 5.2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{6 x - 12 x^{1 + 8}}{3 x^{3} + 7}$

단계 5.2.9

$1$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{6 x - 12 x^{9}}{3 x^{3} + 7}$

단계 5.2.10

$6 x$ 와 $- 12 x^{9}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 12 x^{9} + 6 x}{3 x^{3} + 7}$

단계 5.3

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

단계 5.4

피제수 $- 12 x^{9}$ 의 고차항을 제수 $3 x^{3}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$4 x^{6}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

단계 5.5

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$4 x^{6}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

단계 5.6

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 12 x^{9} + 0 + 0 - 28 x^{6}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$4 x^{6}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

단계 5.7

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$4 x^{6}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

단계 5.8

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$4 x^{6}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

단계 5.9

피제수 $28 x^{6}$ 의 고차항을 제수 $3 x^{3}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$4 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$\frac{28 x^{3}}{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

단계 5.10

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$4 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$\frac{28 x^{3}}{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$28 x^{6}$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

단계 5.11

식을 피제수에서 빼야 하므로 $28 x^{6} + 0 + 0 + \frac{196 x^{3}}{3}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$4 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$\frac{28 x^{3}}{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$28 x^{6}$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

단계 5.12

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$4 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$\frac{28 x^{3}}{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$28 x^{6}$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

단계 5.13

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$4 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$\frac{28 x^{3}}{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$28 x^{6}$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

단계 5.14

피제수 $- \frac{196 x^{3}}{3}$ 의 고차항을 제수 $3 x^{3}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$4 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$\frac{28 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$\frac{196}{9}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$28 x^{6}$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

단계 5.15

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$4 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$\frac{28 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$\frac{196}{9}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$28 x^{6}$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

$0$

$\frac{1372}{9}$

단계 5.16

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- \frac{196 x^{3}}{3} + 0 + 0 - \frac{1372}{9}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$4 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$\frac{28 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$\frac{196}{9}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$28 x^{6}$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

$0$

$\frac{1372}{9}$

단계 5.17

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$4 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$\frac{28 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$\frac{196}{9}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$28 x^{6}$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

$0$

$\frac{1372}{9}$

$6 x$

$\frac{1372}{9}$

단계 5.18

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$- 4 x^{6} + \frac{28 x^{3}}{3} - \frac{196}{9} + \frac{6 x + \frac{1372}{9}}{3 x^{3} + 7}$

단계 5.19

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = - 4 x^{6} + \frac{28 x^{3}}{3} - \frac{196}{9}$

단계 6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = - \frac{\sqrt[3]{63}}{3}$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = - 4 x^{6} + \frac{28 x^{3}}{3} - \frac{196}{9}$

단계 7