대수 예제

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8 \geq 0$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8 = 0$

단계 2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x^{3} - 8 x^{2}) - x + 8 = 0$

단계 2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x^{2} (x - 8) - (x - 8) = 0$

단계 2.2

최대공약수 $x - 8$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x - 8) (x^{2} - 1) = 0$

단계 2.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - 8) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

단계 2.4

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(x - 8) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

단계 2.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - 8) (x + 1) (x - 1) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 8 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 4

$x - 8$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x - 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 8 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$x = 8$

단계 5

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 6

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 7

$(x - 8) (x + 1) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 8, - 1, 1$

단계 8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 8$

$x > 8$

단계 9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

${(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} - (- 4) + 8 \geq 0$

단계 9.1.3

좌변 $- 180$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.2

$- 1 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$- 1 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

${(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} - (0) + 8 \geq 0$

단계 9.2.3

좌변 $8$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.3

$1 < x < 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$1 < x < 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

${(4)}^{3} - 8 {(4)}^{2} - (4) + 8 \geq 0$

단계 9.3.3

좌변 $- 60$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.4

$x > 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

$x > 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 10$

단계 9.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $10$ 로 치환합니다.

${(10)}^{3} - 8 {(10)}^{2} - (10) + 8 \geq 0$

단계 9.4.3

좌변 $198$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 1$ 거짓

$- 1 < x < 1$ 참

$1 < x < 8$ 거짓

$x > 8$ 참

$x < - 1$ 거짓

$- 1 < x < 1$ 참

$1 < x < 8$ 거짓

$x > 8$ 참

단계 10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 1 \leq x \leq 1$ 또는 $x \geq 8$

단계 11

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$[- 1, 1] \cup [8, \infty)$

단계 12